题目
2.选择题(3)对于n阶实对称矩阵A,以下结论正确的是A. 一定有n个不同的特征值;B. 存在正交矩阵T,使T'AT成对角矩阵C. 它的特征值一定是正数D. 属于不同特征值的特征向量必线性无关.但不一定正交.
2.选择题(3)对于n阶实对称矩阵A,以下结论正确的是
A. 一定有n个不同的特征值;
B. 存在正交矩阵T,使T'AT成对角矩阵
C. 它的特征值一定是正数
D. 属于不同特征值的特征向量必线性无关.但不一定正交.
题目解答
答案
B. 存在正交矩阵T,使T'AT成对角矩阵
解析
步骤 1：实对称矩阵的特征值和特征向量
实对称矩阵的特征值是实数，且属于不同特征值的特征向量是正交的。这意味着如果一个实对称矩阵有n个不同的特征值，那么它就有n个线性无关的特征向量，这些特征向量可以被正交化。
步骤 2：正交矩阵
正交矩阵是其转置等于其逆的矩阵，即\(T^T = T^{-1}\)。对于实对称矩阵A，存在一个正交矩阵T，使得\(T^TAT\)是对角矩阵，这个对角矩阵的对角线元素就是A的特征值。
步骤 3：特征值的性质
实对称矩阵的特征值可以是正数、负数或零，不一定都是正数。因此，选项C是错误的。
步骤 4：特征向量的线性无关性
属于不同特征值的特征向量是线性无关的，这是线性代数中的一个基本定理。因此，选项D是错误的，因为属于不同特征值的特征向量不仅线性无关，而且正交。
实对称矩阵的特征值是实数，且属于不同特征值的特征向量是正交的。这意味着如果一个实对称矩阵有n个不同的特征值，那么它就有n个线性无关的特征向量，这些特征向量可以被正交化。
步骤 2：正交矩阵
正交矩阵是其转置等于其逆的矩阵，即\(T^T = T^{-1}\)。对于实对称矩阵A，存在一个正交矩阵T，使得\(T^TAT\)是对角矩阵，这个对角矩阵的对角线元素就是A的特征值。
步骤 3：特征值的性质
实对称矩阵的特征值可以是正数、负数或零，不一定都是正数。因此，选项C是错误的。
步骤 4：特征向量的线性无关性
属于不同特征值的特征向量是线性无关的，这是线性代数中的一个基本定理。因此，选项D是错误的，因为属于不同特征值的特征向量不仅线性无关，而且正交。