题目
(本题10分)将一束波长λ = 5890Å平行钠光垂直入射在1厘米内有5000条刻痕的平面衍射光栅上,光栅的透光缝宽度a与其间距b相等,求:(1)(1) 光线垂直入射时,能看到几条谱线?是哪几级?(2)(2) 若光线以与光栅平面法线的夹角θ=30°方向入射时,能看到几条谱线?是哪几级?
(本题10分)
将一束波长λ = 5890Å平行钠光垂直入射在1厘米内有5000条刻痕的平面衍射光栅上,光栅的透光缝宽度a与其间距b相等,求:
(1)(1) 光线垂直入射时,能看到几条谱线?是哪几级?
(2)(2) 若光线以与光栅平面法线的夹角θ=30°方向入射时,能看到几条谱线?是哪几级?
题目解答
答案
解:(1)( a + b)sinφ= kλ,当φ=π/2时 k =(a + b)/ λ=3.39
取 kmax = 3 又∵ a =b
(a + b)sinφ= 2asinφ= kλ
asinφ= kλ/2
当 k = ±2,±4,±6………时缺级
∴ 能看到5级谱线,为0,±1,±3级
(2)(a + b)(sinφ + sinθ) =kλ
θ=30°,φ=±90°
φ=π/2,k =(a + b)(sin30°+ sin90°)/λ=5.09 取kmax =5
φ=-π/2,k =(a + b)(sin30°- sin90°)/λ=-1.7 取k’max =-1
∵a =b,∴第2,4,……缺级
∴能看到5条谱线,为 +5,+3,+1,0,-1级
解析
步骤 1：计算光栅常数
光栅常数\(d = a + b\)，其中\(a\)是透光缝宽度，\(b\)是透光缝间距。题目中给出光栅的透光缝宽度\(a\)与其间距\(b\)相等，因此\(d = 2a\)。光栅的刻痕数为5000条，长度为1厘米，所以光栅常数\(d = \frac{1\,厘米}{5000} = 2 \times 10^{-4}\,厘米 = 2 \times 10^{-6}\,米\)。
步骤 2：计算最大可见级数
当光线垂直入射时，衍射角\(φ\)最大为\(π/2\)，此时\(sinφ = 1\)。根据光栅方程\(d \cdot sinφ = kλ\)，可以计算出最大可见级数\(k_{max}\)。将\(d = 2 \times 10^{-6}\,米\)，\(λ = 5890Å = 5890 \times 10^{-10}\,米\)代入，得到\(k_{max} = \frac{d}{λ} = \frac{2 \times 10^{-6}}{5890 \times 10^{-10}} = 3.39\)。取整数部分，\(k_{max} = 3\)。
步骤 3：确定可见谱线
由于\(a = b\)，根据光栅方程\(2a \cdot sinφ = kλ\)，当\(k\)为偶数时，\(sinφ = kλ/2a\)，此时\(sinφ\)可能超出[-1, 1]的范围，导致缺级。因此，能看到的谱线为\(k = 0, ±1, ±3\)级。
步骤 4：计算斜入射时的最大可见级数
当光线以与光栅平面法线的夹角\(θ = 30°\)方向入射时，根据光栅方程\(d \cdot (sinφ + sinθ) = kλ\)，可以计算出最大可见级数\(k_{max}\)。将\(d = 2 \times 10^{-6}\,米\)，\(λ = 5890 \times 10^{-10}\,米\)，\(θ = 30°\)代入，得到\(k_{max} = \frac{d \cdot (sin30° + sin90°)}{λ} = 5.09\)。取整数部分，\(k_{max} = 5\)。
步骤 5：确定斜入射时的可见谱线
由于\(a = b\)，根据光栅方程\(2a \cdot (sinφ + sinθ) = kλ\)，当\(k\)为偶数时，\(sinφ + sinθ = kλ/2a\)，此时\(sinφ + sinθ\)可能超出[-1, 1]的范围，导致缺级。因此，能看到的谱线为\(k = ±5, ±3, ±1, 0\)级。
光栅常数\(d = a + b\)，其中\(a\)是透光缝宽度，\(b\)是透光缝间距。题目中给出光栅的透光缝宽度\(a\)与其间距\(b\)相等，因此\(d = 2a\)。光栅的刻痕数为5000条，长度为1厘米，所以光栅常数\(d = \frac{1\,厘米}{5000} = 2 \times 10^{-4}\,厘米 = 2 \times 10^{-6}\,米\)。
步骤 2：计算最大可见级数
当光线垂直入射时，衍射角\(φ\)最大为\(π/2\)，此时\(sinφ = 1\)。根据光栅方程\(d \cdot sinφ = kλ\)，可以计算出最大可见级数\(k_{max}\)。将\(d = 2 \times 10^{-6}\,米\)，\(λ = 5890Å = 5890 \times 10^{-10}\,米\)代入，得到\(k_{max} = \frac{d}{λ} = \frac{2 \times 10^{-6}}{5890 \times 10^{-10}} = 3.39\)。取整数部分，\(k_{max} = 3\)。
步骤 3：确定可见谱线
由于\(a = b\)，根据光栅方程\(2a \cdot sinφ = kλ\)，当\(k\)为偶数时，\(sinφ = kλ/2a\)，此时\(sinφ\)可能超出[-1, 1]的范围，导致缺级。因此，能看到的谱线为\(k = 0, ±1, ±3\)级。
步骤 4：计算斜入射时的最大可见级数
当光线以与光栅平面法线的夹角\(θ = 30°\)方向入射时，根据光栅方程\(d \cdot (sinφ + sinθ) = kλ\)，可以计算出最大可见级数\(k_{max}\)。将\(d = 2 \times 10^{-6}\,米\)，\(λ = 5890 \times 10^{-10}\,米\)，\(θ = 30°\)代入，得到\(k_{max} = \frac{d \cdot (sin30° + sin90°)}{λ} = 5.09\)。取整数部分，\(k_{max} = 5\)。
步骤 5：确定斜入射时的可见谱线
由于\(a = b\)，根据光栅方程\(2a \cdot (sinφ + sinθ) = kλ\)，当\(k\)为偶数时，\(sinφ + sinθ = kλ/2a\)，此时\(sinφ + sinθ\)可能超出[-1, 1]的范围，导致缺级。因此，能看到的谱线为\(k = ±5, ±3, ±1, 0\)级。