题目

阅读材料4．对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J．Napier，1550-1617)，1614年，纳皮尔出版了《奇妙的对数》，在前言里，纳皮尔告诉我们他发明对数的动机；没有什么比大数的乘、除、开平方或开立方运算更让数学工作者头痛、更阻碍计算者了，这不仅浪费时间，而且容易出错是，因此，我开始考虑怎样消除这些障碍，经过长时间的思索，我终于找到了一些漂亮的简短法则... ... 对数b=({log )_(a)}m是实数，其中b，a，m的关系是m=({a)^b}，对数具有一种奇妙的性质：可以把高一级的乘、除、乘方、开方运算分别转化为低一级的加、减、乘、除运算．进行大量的计算时，对数的这种功能可使计算的效率成倍地提高．比如计算({2)^64}的近似值，若用64个2连乘，其繁琐与费时可以想象，如果利用对数的定义和运算公式，可以操作如下：因为lg ({2)^64}=64cdot lg 2approx 64times 0.3010=19.2640，再利用对数表查表规则，查出0.2640approx lg 1.836，于是19.2640=0.2640+19=lg 1.836+19=lg (1.836times ({10)^19})，可得({2)^64}的近似值为1.836times ({10)^19}，就可以体会到对数的数字计算上的优越性！请依据上述材料，完成下列问题：写出你知道的对数运算公式(至少3个)．利用阅读材料4，计算({log )_(2)}5的近似值；(计算过程精确到0.0001，结果精确到0.01)．利用阅读材料4提供的思想和方法计算sqrt[3](3472)的近似值．(计算过程精确到0.0001，结果精确到0.01)．附件．对数用表(部分及查表说明)一、使用说明1．整数部分是一位非零数字．lg 2.573：在第1列找25再横行找“7”为4099，修正值“3”为5．所以lg 2.573approx 0.4099+0.0005=0.4104．2．整数部分不是一位非零数字的．用科学记数法表示Ntimes ({10)^n}．lg 25730=lg (2.573times ({10)^4})=lg 2.573+4=4.4104lg 0.222573=lg (2.573times ({10)^-3})=lg 2.573+(-3)=-2.5896．3．查反对数时，正小数部分查表，整数部分决定小数点的位置．6.4104：由0.4104查出0.4104=lg 2.573．则6.4104=lg 2.573+6=lg (2.573times ({10)^6})=lg 2573000．负的对数化负整数+正纯小数，再同样查．二、对数用表(部分)4 5 6 7 8 9-|||-1875 1903 1931 1959 1987 2014-|||-2148 2175 2201 2227 2253 2279-|||-2405 2430 2455 2480 2504 2529-|||-2648 2672 2695 2718 2742 2765-|||-2878 2900 2923 2945 2967 2989-|||-3096 3118 3139 3160 3181 3201-|||-3304 3324 3345 3365 3385 3404-|||-3502 3522 3541 3560 3579 3598-|||-3692 3711 3729 3747 3766 3784-|||-3874 3892 3909 3927 3945 3962-|||-4048 4065 4082 4099 4116 4133-|||-4216 4232 4249 4265 4281 4298-|||-4378 4393 4409 4425 4440 4456-|||-4533 4548 4564 4579 4594 4609-|||-4683 4698 4713 4728 4742 4557-|||-4829 4843 4857 4871 4886 4900-|||-4969 4983 3997 5011 5024 5038-|||-5105 5119 5132 5145 5159 5172-|||-5237 5250 5263 5276 5289 5302-|||-5366 5378 5391 5403 5416 5428-|||-5490 5502 5514 5527 5539 5551-|||-5611 5623 5635 5647 5658 5670-|||-5729 5740 5752 5763 5775 5986-|||-5843 5855 5866 5877 5888 5899-|||-5955 5966 5977 5988 5999 6010

阅读材料$4$．对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J．$Napier$，$1550-1617$)，$1614$年，纳皮尔出版了《奇妙的对数》，在前言里，纳皮尔告诉我们他发明对数的动机；没有什么比大数的乘、除、开平方或开立方运算更让数学工作者头痛、更阻碍计算者了，这不仅浪费时间，而且容易出错是，因此，我开始考虑怎样消除这些障碍，经过长时间的思索，我终于找到了一些漂亮的简短法则$\cdots \cdots $

对数$b={{\log }_{a}}m$是实数，其中$b$，$a$，$m$的关系是$m={{a}^{b}}$，对数具有一种奇妙的性质：可以把高一级的乘、除、乘方、开方运算分别转化为低一级的加、减、乘、除运算．进行大量的计算时，对数的这种功能可使计算的效率成倍地提高．

比如计算${{2}^{64}}$的近似值，若用$64$个$2$连乘，其繁琐与费时可以想象，如果利用对数的定义和运算公式，可以操作如下：

因为$\lg {{2}^{64}}=64\cdot \lg 2\approx 64\times 0.3010=19.2640$，再利用对数表查表规则，查出

$0.2640\approx \lg 1.836$，于是$19.2640=0.2640+19=\lg 1.836+19=\lg (1.836\times {{10}^{19}})$，

可得${{2}^{64}}$的近似值为$1.836\times {{10}^{19}}$，就可以体会到对数的数字计算上的优越性！

请依据上述材料，完成下列问题：

写出你知道的对数运算公式(至少$3$个)．

利用阅读材料$4$，计算${{\log }_{2}}5$的近似值；(计算过程精确到$0.0001$，结果精确到$0.01$)．

利用阅读材料$4$提供的思想和方法计算$\sqrt[3]{3472}$的近似值．(计算过程精确到$0.0001$，结果精确到$0.01$)．

附件．对数用表(部分及查表说明)

一、使用说明

1．整数部分是一位非零数字．

$\lg 2.573$：在第$1$列找$25$再横行找“$7$”为$4099$，修正值“$3$”为$5$．

所以$\lg 2.573\approx 0.4099+0.0005=0.4104$．

2．整数部分不是一位非零数字的．用科学记数法表示$N\times {{10}^{n}}$．

$\lg 25730=\lg (2.573\times {{10}^{4}})=\lg 2.573+4=4.4104$

$\lg 0.222573=\lg (2.573\times {{10}^{-3}})=\lg 2.573+(-3)=-2.5896$．

3．查反对数时，正小数部分查表，整数部分决定小数点的位置．

$6.4104$：由$0.4104$查出$0.4104=\lg 2.573$．

则$6.4104=\lg 2.573+6=\lg (2.573\times {{10}^{6}})=\lg 2573000$．

负的对数化负整数$+$正纯小数，再同样查．

二、对数用表(部分)

题目解答

答案

  • (1)

    ${{\log }_{a}}(MN)={{\log }_{a}}M+{{\log }_{a}}N$；

    ${{\log }_{a}}\frac{M}{N}={{\log }_{a}}M-{{\log }_{a}}N$；

    ${{\log }_{a}}{{M}^{n}}=n{{\log }_{a}}M$．

  • (2)

    $2.32$．

  • (3)

    $15.14$．