当 x>0 时，曲线 y=x sin (1)/(x)（ ）。(A) 有且仅有水平渐近线(B) 有且仅有垂直渐近线(C) 既有水平渐近线，也有垂直渐近线(D) 既无水平渐近线，也无垂直渐近线

我们来分析函数 $ y = x \sin \frac{1}{x} $ 在 $ x > 0 $ 时的渐近线情况。

一、理解题意

我们要判断函数 $ y = x \sin \frac{1}{x} $ 在 $ x > 0 $ 时是否有：

• 水平渐近线：即当 $ x \to \infty $ 时，$ y \to c $（某个常数）；
• 垂直渐近线：即当 $ x \to a $（某个有限值）时，$ y \to \pm\infty $。

二、分析水平渐近线（$ x \to \infty $）

我们考虑极限：

$\lim_{x \to \infty} x \sin \left( \frac{1}{x} \right)$

我们可以使用等价无穷小替换：

当 $ x \to \infty $，$ \frac{1}{x} \to 0 $，所以：

$\sin \left( \frac{1}{x} \right) \sim \frac{1}{x}$

因此：

$x \sin \left( \frac{1}{x} \right) \sim x \cdot \frac{1}{x} = 1$

所以：

$\lim_{x \to \infty} x \sin \left( \frac{1}{x} \right) = 1$

这说明函数在 $ x \to \infty $ 时趋近于常数 1，有水平渐近线 $ y = 1 $。

三、分析垂直渐近线（是否存在某个有限 $ x $ 使得 $ y \to \pm\infty $）

我们考虑函数在 $ x \to 0^+ $ 的行为：

$\lim_{x \to 0^+} x \sin \left( \frac{1}{x} \right)$

注意：当 $ x \to 0^+ $，$ \frac{1}{x} \to +\infty $，所以 $ \sin \left( \frac{1}{x} \right) $ 在 $ [-1, 1] $ 之间震荡。

因此：

$x \sin \left( \frac{1}{x} \right)$

是一个趋于 0 的因子 $ x $ 乘以一个有界震荡函数 $ \sin \left( \frac{1}{x} \right) $，所以整体极限是：

$\lim_{x \to 0^+} x \sin \left( \frac{1}{x} \right) = 0$

也就是说，在 $ x \to 0^+ $ 时函数有界，不会趋于无穷大，因此 没有垂直渐近线。

四、结论

• 有水平渐近线 $ y = 1 $
• 没有垂直渐近线

✅ 正确答案是：

$\boxed{\text{(A) 有且仅有水平渐近线}}$