1. (4.0分) 已知函数y=y(x)在任意点x处的增量 Delta y=(y)/(1+x^2)Delta x+alpha，且当Delta xto0时，α是Delta x的高阶无穷小，y(0)=π，则y(1)=A. πB. pi e^(pi)/(4)C. e^(pi)/(4)D. 2π

本题考查知识点为函数增量与高阶无穷小的关系以及利用导数导数求解函数值的方法。解题思路思路如下：

1. 首先根据已知条件，当$\Delta x\to0$时，$\alpha$是$\Delta x$的高阶无穷小，我们可以得到函数$y = y(x)$的导数表达式。
2. 然后对导数表达式进行积分，得到函数\y = y(x))的表达式。
3. 最后将$x = 1$代入函数\y = y(x))中，求出$y(1)$的值。

下面进行详细的计算：

1. 由已知$\Delta y=\frac{y}{1+x^{2}}\Delta x+\alpha$，且当$\Delta x\to0$时，$\alpha$是$\Delta x$的高阶无穷小，根据导数的定义$y^\prime=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$，可得$y^\prime=\frac{y}{1 + x^{2}}$。
2. 对$y^\prime=\frac{y\}{1 + x^{2}}$进行变形，得到$\frac{y^\prime}{y}=\frac{1}{1 + x^{2}}$。
3. 两边同时积分$\int\frac{y^\prime}{y}dx=\int\frac{1}{1 + x^{2}}dx$，根据积分公式$\int\frac{1}{1 + x^{2}}dx=\arctan x + C$，可得$\ln y=\arctan x + C$。
4. 两边同时取指数，得到$y = e^{\arctan x + C}$。
5. 已知$y(0)=\pi$，将$x = 0$代入$y = e^{\arctan x + C}$中，可得$\pi = e^{C}$，即$C = \ln\pi$。
6. 所以$y = \pi e^{\arctan x}$。
7. 将$x = 1$代入$y = \pi e^{\arctan x}$中，可得$y(1)=\pi e^{\frac{\pi}{4}}$。