题目

若 A, B 为任意两个随机事件, 则 ( )。(A) (AB)leqslant P(A)P(B)(B) (AB)leqslant P(A)P(B)(C) (AB)leqslant P(A)P(B)(D) (AB)leqslant P(A)P(B)

若  A, B  为任意两个随机事件, 则 ( )。

(A) 

(B)  

(C) 

(D)  

题目解答

答案

根据加法公式，有：

所以：

由于概率不能为负数，所以有：

将这两个不等式代入上面的等式，得到：

所以：

将这两个不等式与题目给出的选项进行比较，可以发现：

选项 A 不成立，因为当 A 和 B 相互独立时，有 ，而当 A 和 B 不相互独立时，有可能出现  的情况。

选项 B 不成立，因为 A 和 B 相互独立时，有 ，而当 A 和 B 不相互独立时，有可能出现 的情况。

选项 C 成立，因为根据算术平均数不小于几何平均数的性质，有：

两边平方后得到：

移项后得到：

展开后得到：

化简后得到：

由于平方恒大于等于零，所以这个不等式恒成立。

当 A 和 B 的概率相等时，有：

此时，根据第一个不等式，有：

展开后得到：

移项后得到：

由于当 A 和 B 的概率相等时，有：

P(A)-P(B)=0

所以有：

当且仅当

所以当 A 和 B 的概率相等且 A 和 B 不可能同时发生时，选项 D 的不等式变为等式。

综上所述，选项 C 是正确的，选项 A, B, D 都是错误的。

解析

步骤 1：理解概率的基本性质
概率的基本性质之一是，对于任意两个事件 A 和 B，它们的交集的概率 $P(AB)$ 不会超过它们各自概率的乘积 $P(A)P(B)$，当且仅当 A 和 B 是独立事件时，$P(AB) = P(A)P(B)$。然而，当 A 和 B 不是独立事件时，$P(AB)$ 可能大于 $P(A)P(B)$，因此选项 A 和 B 都不总是成立。
步骤 2：应用算术平均数不小于几何平均数的性质
对于任意两个非负数 $x$ 和 $y$，算术平均数不小于几何平均数，即 $\dfrac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$。将 $x = P(A)$ 和 $y = P(B)$ 代入，得到 $\dfrac{P(A) + P(B)}{2} \geq \sqrt{P(A)P(B)}$。由于 $P(AB) \leq \sqrt{P(A)P(B)}$，因此 $\dfrac{P(A) + P(B)}{2} \geq P(AB)$，这表明选项 C 是正确的。
步骤 3：验证选项 D
选项 D 声称 $P(AB) \geq \dfrac{P(A) + P(B)}{2}$，这与算术平均数不小于几何平均数的性质相矛盾，因此选项 D 不成立。