2.设函数f(t)在[0,1]上连续，且f(x)<1，证明方程 2x-int_(0)^xf(t)dt=1在(0,1)内有且仅有一实根.

考查要点：本题主要考查利用连续函数的零点定理和导数判断函数单调性来证明方程存在唯一解的能力。

解题核心思路：

1. 构造辅助函数：将方程转化为函数零点问题，定义$g(x) = 2x - \int_0^x f(t) \, dt - 1$。
2. 验证零点存在性：通过计算$g(0)$和$g(1)$的值，结合零点定理证明至少存在一个解。
3. 验证唯一性：通过求导分析$g(x)$的单调性，证明至多一个解。

破题关键点：

• 端点值的符号：利用$f(x) < 1$推导出$g(0) < 0$和$g(1) > 0$。
• 导数的正负：由$g'(x) = 2 - f(x) > 1 > 0$得出$g(x)$严格递增。

步骤1：构造辅助函数

定义函数：
$g(x) = 2x - \int_0^x f(t) \, dt - 1$
由于$f(t)$在$[0,1]$上连续，积分$\int_0^x f(t) \, dt$在$[0,1]$上连续可导，因此$g(x)$在$[0,1]$上连续可导。

步骤2：计算端点值

• 当$x=0$时：
  $g(0) = 2 \cdot 0 - \int_0^0 f(t) \, dt - 1 = -1 < 0$
• 当$x=1$时：
  $g(1) = 2 \cdot 1 - \int_0^1 f(t) \, dt - 1 = 1 - \int_0^1 f(t) \, dt$
  由于$f(t) < 1$，积分$\int_0^1 f(t) \, dt < \int_0^1 1 \, dt = 1$，因此：
  $g(1) = 1 - \text{（小于1的数）} > 0$

步骤3：应用零点定理

$g(x)$在$[0,1]$上连续，且$g(0) < 0$，$g(1) > 0$，根据零点定理，存在$c \in (0,1)$使得$g(c) = 0$，即方程有解。

步骤4：分析单调性

求导得：
$g'(x) = 2 - f(x)$
由于$f(x) < 1$，故：
$g'(x) = 2 - f(x) > 2 - 1 = 1 > 0$
因此，$g(x)$在$[0,1]$上严格递增，至多有一个零点。

结论

结合存在性和唯一性，方程在$(0,1)$内有且仅有一个实根。