设函数 y = y(x) 是微分方程 y' + (1)/(2sqrt(x)) y = 2 + sqrt(x) 满足条件 y(1) = 3 的解，求曲线 y = y(x) 的渐近线。

我们要求的是微分方程：

$y' + \frac{1}{2\sqrt{x}} y = 2 + \sqrt{x}$

满足初始条件 $ y(1) = 3 $ 的解 $ y = y(x) $ 的渐近线。

第一步：识别微分方程类型

这是一个一阶线性非齐次微分方程，形式为：

$y' + P(x) y = Q(x)$

其中：

• $ P(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $
• $ Q(x) = 2 + \sqrt{x} $

第二步：求通解

对于一阶线性微分方程，通解公式为：

$y(x) = e^{-\int P(x)\,dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x)\,dx} \,dx + C \right)$

1. 计算积分因子：

$\int P(x)\,dx = \int \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx = \sqrt{x}$

所以积分因子为：

$e^{\int P(x)\,dx} = e^{\sqrt{x}}, \quad e^{-\int P(x)\,dx} = e^{-\sqrt{x}}$

2. 代入通解公式：

$y(x) = e^{-\sqrt{x}} \left( \int (2 + \sqrt{x}) e^{\sqrt{x}} \, dx + C \right)$

我们来计算这个积分：

$\int (2 + \sqrt{x}) e^{\sqrt{x}} \, dx$

我们做变量代换：令 $ u = \sqrt{x} $，则 $ x = u^2 $，$ dx = 2u\,du $

代入后：

$\int (2 + u) e^u \cdot 2u\,du = 2 \int u(2 + u) e^u \, du = 2 \int (2u + u^2) e^u \, du$

我们分别计算：

• $ \int 2u e^u \, du $：用分部积分，设 $ u = u, dv = e^u\,du $，得：

$\int 2u e^u \, du = 2(u e^u - e^u) = 2u e^u - 2e^u$

• $ \int u^2 e^u \, du $：也用分部积分，设 $ u = u^2, dv = e^u\,du $，得：

$\int u^2 e^u \, du = u^2 e^u - 2 \int u e^u \, du = u^2 e^u - 2(u e^u - e^u) = u^2 e^u - 2u e^u + 2e^u$

所以整体积分：

$2 \int (2u + u^2) e^u \, du = 2[(2u e^u - 2e^u) + (u^2 e^u - 2u e^u + 2e^u)] = 2(u^2 e^u)$

所以原积分：

$\int (2 + \sqrt{x}) e^{\sqrt{x}} \, dx = 2u^2 e^u = 2x e^{\sqrt{x}}$

3. 代入通解表达式：

$y(x) = e^{-\sqrt{x}} \left( 2x e^{\sqrt{x}} + C \right) = 2x + C e^{-\sqrt{x}}$

第三步：代入初始条件求常数

已知 $ y(1) = 3 $，代入：

$y(1) = 2(1) + C e^{-1} = 2 + \frac{C}{e} = 3 \Rightarrow \frac{C}{e} = 1 \Rightarrow C = e$

所以特解为：

$y(x) = 2x + e \cdot e^{-\sqrt{x}} = 2x + e^{1 - \sqrt{x}}$

第四步：求渐近线

我们要找的是函数 $ y(x) = 2x + e^{1 - \sqrt{x}} $ 的渐近线。

观察当 $ x \to \infty $ 时：

• $ 2x \to \infty $
• $ \sqrt{x} \to \infty \Rightarrow 1 - \sqrt{x} \to -\infty \Rightarrow e^{1 - \sqrt{x}} \to 0 $

所以：

$\lim_{x \to \infty} y(x) = \lim_{x \to \infty} (2x + e^{1 - \sqrt{x}}) = 2x + 0 = 2x$

因此，函数 $ y(x) $ 的斜渐近线为：

$\boxed{y = 2x}$

✅ 最终答案：

曲线 $ y = y(x) $ 的渐近线是：

$\boxed{y = 2x}$