题目
若n阶矩阵A的任意一行中n个元素的和都是a，则A的一特征值为( )。A. aB. -aC. 0D. a-1
若n阶矩阵A的任意一行中n个元素的和都是a，则A的一特征值为( )。
A. a
B. -a
C. 0
D. a-1
题目解答
答案
A. a
解析
步骤 1：定义特征值和特征向量
特征值和特征向量是线性代数中的重要概念。对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x和一个数λ，使得Ax = λx，则称λ为A的一个特征值，x为A对应于λ的特征向量。
步骤 2：构造向量
根据题目条件，矩阵A的任意一行中n个元素的和都是a。我们可以构造一个向量x，其所有元素均为1，即x = (1, 1, ..., 1)^T。
步骤 3：计算Ax
计算Ax，即A乘以向量x。由于A的任意一行中n个元素的和都是a，所以Ax的结果向量的每个元素都是a，即Ax = (a, a, ..., a)^T。
步骤 4：验证特征值
根据特征值的定义，如果Ax = λx，则λ为A的一个特征值。将Ax的结果向量与λx进行比较，可以发现λ = a时，Ax = a(1, 1, ..., 1)^T = (a, a, ..., a)^T，满足特征值的定义。
特征值和特征向量是线性代数中的重要概念。对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x和一个数λ，使得Ax = λx，则称λ为A的一个特征值，x为A对应于λ的特征向量。
步骤 2：构造向量
根据题目条件，矩阵A的任意一行中n个元素的和都是a。我们可以构造一个向量x，其所有元素均为1，即x = (1, 1, ..., 1)^T。
步骤 3：计算Ax
计算Ax，即A乘以向量x。由于A的任意一行中n个元素的和都是a，所以Ax的结果向量的每个元素都是a，即Ax = (a, a, ..., a)^T。
步骤 4：验证特征值
根据特征值的定义，如果Ax = λx，则λ为A的一个特征值。将Ax的结果向量与λx进行比较，可以发现λ = a时，Ax = a(1, 1, ..., 1)^T = (a, a, ..., a)^T，满足特征值的定义。