2.设z=u^2ln v，而u=(x)/(y)，v=3x-2y，求Z_(x)，Z_(y).

考查要点：本题主要考查多元复合函数的偏导数计算，需要熟练运用链式法则。

解题思路：

1. 识别变量关系：明确$z$是关于$u$和$v$的函数，而$u$和$v$又分别是$x$和$y$的函数。
2. 分步求导：分别计算$z$对$u$和$v$的偏导数，再结合$u$和$v$对$x$、$y$的偏导数，通过链式法则组合结果。
3. 代数化简：将中间变量$u$和$v$替换为$x$和$y$的表达式，并整理最终结果。

关键点：

• 链式法则的分步应用，避免符号错误。
• 代数运算的准确性，尤其是分式运算和因式分解。

计算$z_x$

对$u$求偏导

$\frac{\partial z}{\partial u} = 2u \ln v$

对$v$求偏导

$\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{u^2}{v}$

结合中间变量对$x$的偏导

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{y}$，$\frac{\partial v}{\partial x} = 3$

组合结果

$z_x = 2u \ln v \cdot \frac{1}{y} + \frac{u^2}{v} \cdot 3$

代入$u = \frac{x}{y}$和$v = 3x - 2y$

$z_x = \frac{2x}{y^2} \ln (3x - 2y) + \frac{3x^2}{y^2(3x - 2y)}$

计算$z_y$

对$u$求偏导

$\frac{\partial z}{\partial u} = 2u \ln v$

对$v$求偏导

$\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{u^2}{v}$

结合中间变量对$y$的偏导

$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{x}{y^2}$，$\frac{\partial v}{\partial y} = -2$

组合结果

$z_y = 2u \ln v \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right) + \frac{u^2}{v} \cdot (-2)$

代入$u = \frac{x}{y}$和$v = 3x - 2y$

$z_y = -\frac{2x^2}{y^3} \ln (3x - 2y) - \frac{2x^2}{y^2(3x - 2y)}$

因式分解

$z_y = -\frac{2x^2}{y^3} \left[ \ln (3x - 2y) + \frac{y}{3x - 2y} \right]$