幂函数sum _(n=0)^infty dfrac ({(-1))^n(x)^2n+1}(2n+1)的和函数sum _(n=0)^infty dfrac ({(-1))^n(x)^2n+1}(2n+1)sum _(n=0)^infty dfrac ({(-1))^n(x)^2n+1}(2n+1)sum _(n=0)^infty dfrac ({(-1))^n(x)^2n+1}(2n+1)sum _(n=0)^infty dfrac ({(-1))^n(x)^2n+1}(2n+1)sum _(n=0)^infty dfrac ({(-1))^n(x)^2n+1}(2n+1)

考查要点：本题主要考查幂级数的求和方法，特别是通过逐项求导转化为已知级数，再积分求原函数的能力。关键在于识别导数后的级数形式，并正确积分确定常数。

解题思路：

1. 逐项求导：将原幂级数逐项求导，简化为几何级数形式。
2. 求和与积分：利用几何级数求和公式得到导数表达式，积分后结合初始条件确定原函数。
3. 选项匹配：通过积分结果直接对应选项中的反正切函数。

破题关键：

• 导数后的级数形式：通过求导消去分母，转化为几何级数。
• 积分结果的确定：积分$\frac{1}{1+x^2}$得到$\arctan x$，并验证初始条件确定常数项。

步骤1：逐项求导

原幂级数为：
$S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$
逐项求导得：
$S'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$

步骤2：求导数的和函数

观察级数$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$，可改写为：
$\sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n = \frac{1}{1 + x^2} \quad (|x| < 1)$
因此：
$S'(x) = \frac{1}{1 + x^2}$

步骤3：积分求原函数

对$S'(x)$积分：
$S(x) = \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan x + C$
确定常数$C$：当$x=0$时，原级数所有项为0，故$S(0)=0$，代入得：
$\arctan 0 + C = 0 \implies C = 0$
因此：
$S(x) = \arctan x$

步骤4：匹配选项

选项D为$\arctan x$，与推导结果一致。