题目
1.填空题.-|||-(2)设随机变量X,Y的数学期望分别为 -2 和2,方差分别为1和4,而相关系-|||-数为 -0.5, 则根据切比雪夫不等式, |X+Y|geqslant 6 leqslant __ _.
题目解答
答案
答案: \\frac{1}{12} 解析: E(x+Y)=-2+2=0,Na+Y)=rar(x)+Var(Y)+2 Cor(x,Y)=1+4+2 \\cdot \\sqrt{1}\\cdot \\sqrt{4}\\cdot(-0.5)=3 所以 P\\{\\mid x+Y|\\geq{slant}6\\}\\le{slant}\\frac{Narcx+Y)}{6^{2}}=\\frac{3}{36}=\\frac{1}{12} 考查切比雪夫不学式
解析
步骤 1：计算X+Y的数学期望
根据数学期望的性质，E(X+Y) = E(X) + E(Y)。已知E(X) = -2，E(Y) = 2，所以E(X+Y) = -2 + 2 = 0。
步骤 2：计算X+Y的方差
根据方差的性质，Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)。已知Var(X) = 1，Var(Y) = 4，相关系数ρ(X,Y) = -0.5。Cov(X,Y) = ρ(X,Y) * σ(X) * σ(Y) = -0.5 * 1 * 2 = -1。所以Var(X+Y) = 1 + 4 + 2 * (-1) = 3。
步骤 3：应用切比雪夫不等式
根据切比雪夫不等式，对于任意随机变量Z，有P(|Z - E(Z)| ≥ k) ≤ Var(Z) / k^2。将Z = X+Y，E(Z) = 0，Var(Z) = 3，k = 6代入，得到P(|X+Y| ≥ 6) ≤ 3 / 6^2 = 1/12。
根据数学期望的性质，E(X+Y) = E(X) + E(Y)。已知E(X) = -2，E(Y) = 2，所以E(X+Y) = -2 + 2 = 0。
步骤 2：计算X+Y的方差
根据方差的性质，Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)。已知Var(X) = 1，Var(Y) = 4，相关系数ρ(X,Y) = -0.5。Cov(X,Y) = ρ(X,Y) * σ(X) * σ(Y) = -0.5 * 1 * 2 = -1。所以Var(X+Y) = 1 + 4 + 2 * (-1) = 3。
步骤 3：应用切比雪夫不等式
根据切比雪夫不等式，对于任意随机变量Z，有P(|Z - E(Z)| ≥ k) ≤ Var(Z) / k^2。将Z = X+Y，E(Z) = 0，Var(Z) = 3，k = 6代入，得到P(|X+Y| ≥ 6) ≤ 3 / 6^2 = 1/12。