题目
lim _(x arrow 2) e^(1)/(2-x) = ( )A. +inftyB. 0C. -1D. -2
$\lim _{x \rightarrow 2} e^{\frac{1}{2-x}} = (\quad)$ A. $+\infty$ B. 0 C. -1 D. -2
题目解答
答案
我们来求解这个极限：
$$
\lim_{x \rightarrow 2} e^{\frac{1}{2 - x}}
$$
---
### 第一步：分析指数部分
我们先看指数部分：
$$
\frac{1}{2 - x}
$$
当 $ x \to 2 $ 时，分母 $ 2 - x \to 0 $，所以我们要特别注意从哪边趋近于 2。
---
### 第二步：分别考虑左右极限
#### 从左边趋近于 2（即 $ x \to 2^- $）：
当 $ x < 2 $ 时，$ 2 - x > 0 $，所以：
$$
\frac{1}{2 - x} \to +\infty
\Rightarrow e^{\frac{1}{2 - x}} \to e^{+\infty} = +\infty
$$
#### 从右边趋近于 2（即 $ x \to 2^+ $）：
当 $ x > 2 $ 时，$ 2 - x < 0 $，所以：
$$
\frac{1}{2 - x} \to -\infty
\Rightarrow e^{\frac{1}{2 - x}} \to e^{-\infty} = 0
$$
---
### 第三步：判断极限是否存在
因为左右极限不相等：
- 左极限是 $ +\infty $
- 右极限是 $ 0 $
所以原极限 **不存在**。
---
### 第四步：看选项
题目问的是：
$$
\lim_{x \to 2} e^{\frac{1}{2 - x}} = ?
$$
选项如下：
A. $ +\infty $
B. 0
C. -1
D. -2
---
### 第五步：结论
由于极限不存在，但题目给出的选项中只有单侧极限的可能值。
如果题目是问 **右极限**，那么答案是 **B. 0**。
如果题目是问 **左极限**，那么答案是 **A. $ +\infty $**。
但题目中写的是：
> $\lim_{x \to 2}$
这表示 **双侧极限**，而双侧极限不存在。
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### 最终答案：
$$
\boxed{\text{不存在}}
$$
但若必须从选项中选择一个最接近的答案，那么 **B. 0** 是右极限的值，可能是题目的意图。
---
### 最终选择（根据选项）：
$$
\boxed{B. \ 0}
$$
解析
考查要点：本题主要考查指数函数的极限，特别是当自变量趋向于某一点时，指数部分的符号变化对极限结果的影响。关键在于理解左右极限是否存在且相等。
解题核心思路：
- 分析指数部分 $\frac{1}{2-x}$ 的符号变化，当 $x$ 趋近于 $2$ 时，分母 $2-x$ 的符号取决于趋近方向（从左侧或右侧）。
- 分别计算左极限和右极限，判断是否存在共同的极限值。
破题关键点：
- 分母 $2-x$ 的符号直接影响指数部分的正负，从而决定 $e^{\text{指数}}$ 的趋近方向。
- 双侧极限存在当且仅当左右极限相等，否则极限不存在。
第一步：分析指数部分 $\frac{1}{2-x}$
当 $x \to 2$ 时，分母 $2-x \to 0$，但符号取决于趋近方向：
- 从左侧趋近（$x \to 2^-$）：$2-x > 0$，$\frac{1}{2-x} \to +\infty$
- 从右侧趋近（$x \to 2^+$）：$2-x < 0$，$\frac{1}{2-x} \to -\infty$
第二步：计算左右极限
左极限（$x \to 2^-$）
$e^{\frac{1}{2-x}} \to e^{+\infty} = +\infty$
右极限（$x \to 2^+$）
$e^{\frac{1}{2-x}} \to e^{-\infty} = 0$
第三步：判断极限是否存在
- 左极限为 $+\infty$，右极限为 $0$，两者不相等。
- 因此，双侧极限不存在。
第四步：结合选项分析
题目选项中：
- A. $+\infty$（左极限）
- B. $0$（右极限）
- C. $-1$、D. $-2$（均不合理）
若题目严格要求双侧极限，则答案应为“不存在”。但选项中未提供此选项，推测题目实际考察右极限，故选 B。