把复数2+5i写成三角形式A. sqrt(29)(cos arctan (5)/(2) - i sin arctan (5)/(2))B. sqrt(29)(cos arctan (5)/(2) + i sin arctan (5)/(2))C. sqrt(29)(cos arctan (5)/(2) + sin arctan (5)/(2))D. sqrt(29)(cos arctan (5)/(2) - sin arctan (5)/(2))

我们来一步一步地将复数 $ 2 + 5i $ 写成三角形式，并判断哪个选项是正确的。

第一步：复数的三角形式定义

任意一个复数 $ z = a + bi $ 的三角形式为：

$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$

其中：

• $ r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $ 是复数的模；
• $ \theta = \arg(z) $ 是复数的辐角，通常可以用 $ \arctan\left(\frac{b}{a}\right) $ 计算，但要注意象限。

第二步：确定模 $ r $

给定复数 $ z = 2 + 5i $，所以：

• 实部 $ a = 2 $
• 虚部 $ b = 5 $

计算模：

$r = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$

第三步：确定辐角 $ \theta $

辐角 $ \theta $ 是从正实轴到复数向量的夹角。

因为 $ a = 2 > 0 $，$ b = 5 > 0 $，所以复数位于第一象限，可以直接用反正切：

$\theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) = \arctan\left(\frac{5}{2}\right)$

第四步：写出三角形式

代入公式：

$z = r(\cos \theta + i \sin \theta) = \sqrt{29} \left( \cos \arctan\frac{5}{2} + i \sin \arctan\frac{5}{2} \right)$

第五步：对比选项

我们来看选项：

A. $ \sqrt{29}(\cos \arctan \frac{5}{2} - i \sin \arctan \frac{5}{2}) $
→ 虚部符号错了，是减号，对应第四象限，错误。

B. $ \sqrt{29}(\cos \arctan \frac{5}{2} + i \sin \arctan \frac{5}{2}) $
→ 完全匹配我们推导的结果，正确！

C. $ \sqrt{29}(\cos \arctan \frac{5}{2} + \sin \arctan \frac{5}{2}) $
→ 缺少虚数单位 $ i $，而且是实数相加，不是复数形式，错误。

D. $ \sqrt{29}(\cos \arctan \frac{5}{2} - \sin \arctan \frac{5}{2}) $
→ 同样缺少 $ i $，也不是复数的标准形式，错误。

✅ 最终答案：

$\boxed{\text{B}}$