题目
3.求下列一阶线性微分方程的解:-|||-(1) dfrac (dy)(dx)+2xy=4x.
题目解答
答案
解析
步骤 1：识别方程类型
给定的方程 $\dfrac {dy}{dx}+2xy=4x$ 是一阶线性微分方程，因为它可以写成 $\dfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ 的形式，其中 $P(x) = 2x$ 和 $Q(x) = 4x$。
步骤 2：求解积分因子
一阶线性微分方程的通解可以通过积分因子法求解。积分因子 $\mu(x)$ 定义为 $\mu(x) = e^{\int P(x)dx}$。对于给定的方程，我们有 $P(x) = 2x$，因此积分因子为 $\mu(x) = e^{\int 2x dx} = e^{x^2}$。
步骤 3：应用积分因子
将积分因子 $\mu(x) = e^{x^2}$ 乘以原方程的两边，得到 $e^{x^2}\dfrac{dy}{dx} + 2xe^{x^2}y = 4xe^{x^2}$。左边是 $(e^{x^2}y)'$ 的导数，因此方程可以写成 $(e^{x^2}y)' = 4xe^{x^2}$。
步骤 4：积分求解
对两边积分，得到 $e^{x^2}y = \int 4xe^{x^2} dx$。右边的积分可以通过代换 $u = x^2$，$du = 2xdx$ 来求解，得到 $\int 4xe^{x^2} dx = 2\int e^u du = 2e^u + C = 2e^{x^2} + C$。因此，$e^{x^2}y = 2e^{x^2} + C$。
步骤 5：求解 $y$
最后，将 $e^{x^2}$ 除到右边，得到 $y = 2 + Ce^{-x^2}$，其中 $C$ 是积分常数。
给定的方程 $\dfrac {dy}{dx}+2xy=4x$ 是一阶线性微分方程，因为它可以写成 $\dfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ 的形式，其中 $P(x) = 2x$ 和 $Q(x) = 4x$。
步骤 2：求解积分因子
一阶线性微分方程的通解可以通过积分因子法求解。积分因子 $\mu(x)$ 定义为 $\mu(x) = e^{\int P(x)dx}$。对于给定的方程，我们有 $P(x) = 2x$，因此积分因子为 $\mu(x) = e^{\int 2x dx} = e^{x^2}$。
步骤 3：应用积分因子
将积分因子 $\mu(x) = e^{x^2}$ 乘以原方程的两边，得到 $e^{x^2}\dfrac{dy}{dx} + 2xe^{x^2}y = 4xe^{x^2}$。左边是 $(e^{x^2}y)'$ 的导数，因此方程可以写成 $(e^{x^2}y)' = 4xe^{x^2}$。
步骤 4：积分求解
对两边积分，得到 $e^{x^2}y = \int 4xe^{x^2} dx$。右边的积分可以通过代换 $u = x^2$，$du = 2xdx$ 来求解，得到 $\int 4xe^{x^2} dx = 2\int e^u du = 2e^u + C = 2e^{x^2} + C$。因此，$e^{x^2}y = 2e^{x^2} + C$。
步骤 5：求解 $y$
最后，将 $e^{x^2}$ 除到右边，得到 $y = 2 + Ce^{-x^2}$，其中 $C$ 是积分常数。