练习题目1.(2019数一、三,18题,10分)设a_(n)=int_(0)^1x^nsqrt(1-x^2)dx(n=0,1,2)(1)证明:数列a_{n)}单调减少，且a_(n)=(n-1)/(n+2)a_(n-2)(n=2,3,...);(2)求lim_(ntoinfty)(a_(n))/(a_(n-1)).
题目解答
答案
(1) 单调性：
由 $a_{n+1} - a_n = \int_0^1 (x^{n+1} - x^n) \sqrt{1 - x^2} \, dx \leq 0$，知 $\{a_n\}$ 单调递减。
递推关系：
分部积分得 $a_n = \frac{n-1}{n+2} a_{n-2}$（$n \geq 2$）。
(2) 极限：
由单调性及正性，$\frac{a_n}{a_{n-1}} \in (0, 1]$。
由递推式 $\frac{a_n}{a_{n-2}} = \frac{n-1}{n+2} \to 1$，结合夹逼定理，得 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}} = 1$。
答案：
(1) 数列 $\{a_n\}$ 单调递减，且 $a_n = \frac{n-1}{n+2} a_{n-2}$（$n \geq 2$）；
(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}} = \boxed{1}$。
解析
考查要点：本题主要考查积分递推数列的单调性证明、递推关系的建立以及极限的求解方法。
解题思路：
- 单调性证明：通过比较相邻两项的差，利用被积函数的非正性直接得出结论。
- 递推关系：通过分部积分法，将积分表达式转化为前两项的线性组合，建立递推公式。
- 极限求解：结合数列的单调性和递推关系，分析比值的渐进行为，利用夹逼定理或渐近展开得出极限。
关键点：
- 分部积分法是建立递推关系的核心。
- 极限分析需注意递推系数的渐近行为，结合数列的单调性确定极限值。
(1) 证明数列单调减少及递推关系
单调性证明
考虑相邻两项的差：
$a_{n} - a_{n-1} = \int_{0}^{1} x^{n-1}(x - 1)\sqrt{1 - x^{2}} \, dx.$
由于在区间 $[0,1)$ 内，$x - 1 \leq 0$，且 $\sqrt{1 - x^{2}} \geq 0$，因此被积函数非正，积分结果 $\leq 0$，即 $a_{n} \leq a_{n-1}$，故数列 $\{a_n\}$ 单调减少。
递推关系推导
对 $a_n = \int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{1 - x^{2}} \, dx$ 进行分部积分：
- 设 $u = x^{n-1}$，则 $du = (n-1)x^{n-2} dx$；
- 设 $dv = x \sqrt{1 - x^{2}} dx$，则 $v = -\frac{1}{3}(1 - x^{2})^{3/2}$。
分部积分公式：
$a_n = \left. -\frac{1}{3}x^{n-1}(1 - x^{2})^{3/2} \right|_{0}^{1} + \frac{n-1}{3} \int_{0}^{1} (1 - x^{2})^{3/2} x^{n-2} dx.$
边界项为 $0$，整理得：
$a_n = \frac{n-1}{n+2} a_{n-2}.$
(2) 求极限 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}$
极限分析
由递推关系 $a_n = \frac{n-1}{n+2} a_{n-2}$，可得：
$\frac{a_n}{a_{n-1}} = \frac{n-1}{n+2} \cdot \frac{a_{n-2}}{a_{n-1}}.$
设 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}} = L$，则递推关系两边取极限得：
$L = \lim_{n \to \infty} \frac{n-1}{n+2} \cdot \frac{1}{L} \implies L^2 = 1.$
结合数列 $\{a_n\}$ 单调减少且正项，可知 $0 < L \leq 1$，故 $L = 1$。