题目
5.计算曲线积分I=int_(L)[e^xsin y-b(x+y)]dx+(e^xcos y-ax)dy，其中a>0,b>0,L为从点A(2a,0)沿曲线y=sqrt(2ax-x^2)到点O(0,0)的弧.
5.计算曲线积分$I=\int_{L}[e^{x}\sin y-b(x+y)]dx+(e^{x}\cos y-ax)dy$，其中a>0,b>0,L为从点A(2a,0)沿曲线$y=\sqrt{2ax-x^{2}}$到点O(0,0)的弧.
题目解答
答案
将曲线积分分为两部分：
1. **全微分部分**：
$\int_{L} e^x \sin y \, dx + e^x \cos y \, dy$ 与路径无关，沿直线段 $y=0$ 从 $A$ 到 $O$，积分为0。
2. **非全微分部分**：
使用格林公式，闭合曲线 $L + \overline{OA}$ 的积分为 $\iint_{D} (b-a) \, dA = \frac{\pi a^2}{2} (b-a)$。
直线段 $\overline{OA}$ 的积分为 $-2a^2b$。
总积分：
\[
I = \frac{\pi a^2}{2} (b-a) - (-2a^2b) = \boxed{\left( \frac{\pi}{2} + 2 \right) a^2 b - \frac{\pi a^3}{2}}
\]
解析
步骤 1：全微分部分
考虑积分 $\int_{L} e^x \sin y \, dx + e^x \cos y \, dy$，由于 $e^x \sin y$ 和 $e^x \cos y$ 分别是 $e^x \cos y$ 和 $-e^x \sin y$ 的全微分，因此这部分积分与路径无关。沿直线段 $y=0$ 从 $A(2a,0)$ 到 $O(0,0)$，积分值为0。
步骤 2：非全微分部分
考虑积分 $\int_{L} -b(x+y) \, dx - ax \, dy$。使用格林公式，闭合曲线 $L + \overline{OA}$ 的积分为 $\iint_{D} (b-a) \, dA$，其中 $D$ 是由曲线 $y=\sqrt{2ax-x^{2}}$ 和直线段 $\overline{OA}$ 围成的区域。计算该区域的面积，得到 $\frac{\pi a^2}{2}$，因此积分值为 $\frac{\pi a^2}{2} (b-a)$。
步骤 3：直线段 $\overline{OA}$ 的积分
计算直线段 $\overline{OA}$ 上的积分 $\int_{\overline{OA}} -b(x+y) \, dx - ax \, dy$。由于 $y=0$，积分简化为 $\int_{2a}^{0} -bx \, dx = -2a^2b$。
步骤 4：总积分
将上述结果相加，得到总积分 $I = \frac{\pi a^2}{2} (b-a) - (-2a^2b) = \left( \frac{\pi}{2} + 2 \right) a^2 b - \frac{\pi a^3}{2}$。
考虑积分 $\int_{L} e^x \sin y \, dx + e^x \cos y \, dy$，由于 $e^x \sin y$ 和 $e^x \cos y$ 分别是 $e^x \cos y$ 和 $-e^x \sin y$ 的全微分，因此这部分积分与路径无关。沿直线段 $y=0$ 从 $A(2a,0)$ 到 $O(0,0)$，积分值为0。
步骤 2：非全微分部分
考虑积分 $\int_{L} -b(x+y) \, dx - ax \, dy$。使用格林公式，闭合曲线 $L + \overline{OA}$ 的积分为 $\iint_{D} (b-a) \, dA$，其中 $D$ 是由曲线 $y=\sqrt{2ax-x^{2}}$ 和直线段 $\overline{OA}$ 围成的区域。计算该区域的面积，得到 $\frac{\pi a^2}{2}$，因此积分值为 $\frac{\pi a^2}{2} (b-a)$。
步骤 3：直线段 $\overline{OA}$ 的积分
计算直线段 $\overline{OA}$ 上的积分 $\int_{\overline{OA}} -b(x+y) \, dx - ax \, dy$。由于 $y=0$，积分简化为 $\int_{2a}^{0} -bx \, dx = -2a^2b$。
步骤 4：总积分
将上述结果相加，得到总积分 $I = \frac{\pi a^2}{2} (b-a) - (-2a^2b) = \left( \frac{\pi}{2} + 2 \right) a^2 b - \frac{\pi a^3}{2}$。