题目
原点(0,0,0)关于直线L:(x-1)/(1)=(y+2)/(2)=(z-3)/(-2)的对称点是( )A. (4,0,2)B. (0,-4,5)C. (2,-4,6)D. (0,1,1)
原点$$(0,0,0)$$关于直线$$L:\frac{x-1}{1}=$$$$\frac{y+2}{2}=$$$$\frac{z-3}{-2}$$的对称点是( )
A. $(4,0,2)$
B. $(0,-4,5)$
C. $(2,-4,6)$
D. $(0,1,1)$
题目解答
答案
A. $(4,0,2)$
解析
步骤 1：确定直线L的参数方程
直线$$L$$的参数方程可以表示为$$x=1+t$$，$$y=-2+2t$$，$$z=3-2t$$，其中$$t$$是参数。
步骤 2：求原点到直线L的垂足
设原点$$(0,0,0)$$到直线$$L$$的垂足为$$P(x_0,y_0,z_0)$$，则$$P$$点满足直线$$L$$的参数方程，即$$x_0=1+t$$，$$y_0=-2+2t$$，$$z_0=3-2t$$。同时，向量$$\overrightarrow{OP}$$与直线$$L$$的方向向量$$\overrightarrow{d}=(1,2,-2)$$垂直，即$$\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{d}=0$$。代入$$\overrightarrow{OP}=(x_0,y_0,z_0)$$，得到$$(1+t, -2+2t, 3-2t)\cdot(1,2,-2)=0$$，解得$$t=1$$。因此，$$P(2,0,1)$$。
步骤 3：求原点关于直线L的对称点
设原点关于直线$$L$$的对称点为$$Q(x_1,y_1,z_1)$$，则$$P$$是$$OQ$$的中点，即$$P$$的坐标是$$O$$和$$Q$$坐标的平均值。因此，$$x_1=2\times2-0=4$$，$$y_1=2\times0-0=0$$，$$z_1=2\times1-0=2$$。所以，$$Q(4,0,2)$$。
直线$$L$$的参数方程可以表示为$$x=1+t$$，$$y=-2+2t$$，$$z=3-2t$$，其中$$t$$是参数。
步骤 2：求原点到直线L的垂足
设原点$$(0,0,0)$$到直线$$L$$的垂足为$$P(x_0,y_0,z_0)$$，则$$P$$点满足直线$$L$$的参数方程，即$$x_0=1+t$$，$$y_0=-2+2t$$，$$z_0=3-2t$$。同时，向量$$\overrightarrow{OP}$$与直线$$L$$的方向向量$$\overrightarrow{d}=(1,2,-2)$$垂直，即$$\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{d}=0$$。代入$$\overrightarrow{OP}=(x_0,y_0,z_0)$$，得到$$(1+t, -2+2t, 3-2t)\cdot(1,2,-2)=0$$，解得$$t=1$$。因此，$$P(2,0,1)$$。
步骤 3：求原点关于直线L的对称点
设原点关于直线$$L$$的对称点为$$Q(x_1,y_1,z_1)$$，则$$P$$是$$OQ$$的中点，即$$P$$的坐标是$$O$$和$$Q$$坐标的平均值。因此，$$x_1=2\times2-0=4$$，$$y_1=2\times0-0=0$$，$$z_1=2\times1-0=2$$。所以，$$Q(4,0,2)$$。