5.证明下列不等式:-|||-(3)当 lt xlt dfrac (pi )(2) 时, sin x+tan xgt 2x ;

考查要点：本题主要考查利用导数分析函数单调性来证明不等式的方法，涉及二阶导数判断凹凸性，以及函数单调性的应用。

解题核心思路：

1. 构造辅助函数：将不等式转化为函数形式，即定义$f(x) = \sin x + \tan x - 2x$。
2. 分析导数性质：通过求一阶导数$f'(x)$和二阶导数$f''(x)$，判断$f(x)$的单调性。
3. 利用单调性证明不等式：通过$f'(x)$的单调性确定其符号，进而推导出$f(x)$的单调性，最终得出$f(x) > 0$。

破题关键点：

• 二阶导数的符号：通过变形$f''(x) = \sin x (2\sec^3 x - 1)$，结合$x \in (0, \frac{\pi}{2})$时$\sec x > 1$，证明$f''(x) > 0$，从而$f'(x)$单调递增。
• 初始条件：计算$f'(0) = 0$，结合$f'(x)$单调递增，得出$f'(x) > 0$，进而$f(x)$单调递增且$f(x) > f(0) = 0$。

步骤1：构造辅助函数
定义函数$f(x) = \sin x + \tan x - 2x$，需证当$0 < x < \frac{\pi}{2}$时$f(x) > 0$。

步骤2：求一阶导数
$f'(x) = \cos x + \sec^2 x - 2.$

步骤3：求二阶导数
对$f'(x)$求导：
$f''(x) = -\sin x + 2\sec^2 x \tan x.$
进一步变形：
$f''(x) = \sin x \left(2\sec^3 x - 1\right).$

步骤4：分析二阶导数的符号
在区间$0 < x < \frac{\pi}{2}$内：

• $\sin x > 0$，
• $\sec x = \frac{1}{\cos x} > 1$，故$\sec^3 x > 1$，因此$2\sec^3 x - 1 > 1 > 0$。
  综上，$f''(x) > 0$，说明$f'(x)$在区间内单调递增。

步骤5：分析一阶导数的符号

• 当$x = 0$时，$f'(0) = \cos 0 + \sec^2 0 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$。
• 因$f'(x)$单调递增且$f'(0) = 0$，故当$x > 0$时，$f'(x) > 0$。

步骤6：分析原函数的单调性

• $f'(x) > 0$说明$f(x)$在区间内单调递增。
• 当$x = 0$时，$f(0) = \sin 0 + \tan 0 - 0 = 0$。
• 因此，当$x > 0$时，$f(x) > f(0) = 0$，即$\sin x + \tan x > 2x$。