题目
应用斯托克斯公式计算下列曲线积分:-|||-((y)^2+(z)^2)dx+((x)^2+(z)^2)dy+((x)^2+(y)^2)dz, 其中L为 x+y+z=1 与三坐标面的交线,它-|||-的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲面和边界
题目中提到的曲面是平面 $x+y+z=1$，它与三坐标面的交线构成一个三角形边界。这个边界是平面与三个坐标面的交线，即 $x=0$，$y=0$，$z=0$。因此，边界L是一个三角形，其顶点为 $(1,0,0)$，$(0,1,0)$，$(0,0,1)$。
步骤 2：应用斯托克斯公式
斯托克斯公式将曲线积分转换为曲面积分，公式为：
$$\oint_{L} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_{S} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}$$
其中，$\mathbf{F} = (x^2+x^2, x^2+z^2, x^2+y^2)$，$S$ 是由边界L围成的平面区域，$\nabla \times \mathbf{F}$ 是向量场 $\mathbf{F}$ 的旋度。
步骤 3：计算旋度
计算向量场 $\mathbf{F}$ 的旋度：
$$\nabla \times \mathbf{F} = \left| \begin{array}{ccc}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
x^2+x^2 & x^2+z^2 & x^2+y^2
\end{array} \right|$$
$$= \left( \frac{\partial}{\partial y}(x^2+y^2) - \frac{\partial}{\partial z}(x^2+z^2) \right) \mathbf{i} - \left( \frac{\partial}{\partial x}(x^2+y^2) - \frac{\partial}{\partial z}(x^2+x^2) \right) \mathbf{j} + \left( \frac{\partial}{\partial x}(x^2+z^2) - \frac{\partial}{\partial y}(x^2+x^2) \right) \mathbf{k}$$
$$= (2y - 2z) \mathbf{i} - (2x - 0) \mathbf{j} + (2x - 2x) \mathbf{k}$$
$$= (2y - 2z) \mathbf{i} - 2x \mathbf{j}$$
步骤 4：计算曲面积分
曲面 $S$ 的法向量为 $\mathbf{n} = (1,1,1)$，因此曲面积分可以写为：
$$\iint_{S} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \iint_{S} ((2y - 2z) \mathbf{i} - 2x \mathbf{j}) \cdot (1,1,1) dS$$
$$= \iint_{S} (2y - 2z - 2x) dS$$
由于 $x+y+z=1$，可以将 $z$ 替换为 $1-x-y$，得到：
$$= \iint_{S} (2y - 2(1-x-y) - 2x) dS$$
$$= \iint_{S} (2y - 2 + 2x + 2y - 2x) dS$$
$$= \iint_{S} (4y - 2) dS$$
由于 $S$ 是一个三角形，其面积为 $\frac{1}{2}$，因此：
$$= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} (4y - 2) dy dx$$
$$= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \left[ 2y^2 - 2y \right]_{0}^{1-x} dx$$
$$= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (2(1-x)^2 - 2(1-x)) dx$$
$$= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (2 - 4x + 2x^2 - 2 + 2x) dx$$
$$= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (2x^2 - 2x) dx$$
$$= \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3}x^3 - x^2 \right]_{0}^{1}$$
$$= \frac{1}{2} \left( \frac{2}{3} - 1 \right)$$
$$= \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{3} \right)$$
$$= -\frac{1}{6}$$
题目中提到的曲面是平面 $x+y+z=1$，它与三坐标面的交线构成一个三角形边界。这个边界是平面与三个坐标面的交线，即 $x=0$，$y=0$，$z=0$。因此，边界L是一个三角形，其顶点为 $(1,0,0)$，$(0,1,0)$，$(0,0,1)$。
步骤 2：应用斯托克斯公式
斯托克斯公式将曲线积分转换为曲面积分，公式为：
$$\oint_{L} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_{S} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}$$
其中，$\mathbf{F} = (x^2+x^2, x^2+z^2, x^2+y^2)$，$S$ 是由边界L围成的平面区域，$\nabla \times \mathbf{F}$ 是向量场 $\mathbf{F}$ 的旋度。
步骤 3：计算旋度
计算向量场 $\mathbf{F}$ 的旋度：
$$\nabla \times \mathbf{F} = \left| \begin{array}{ccc}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
x^2+x^2 & x^2+z^2 & x^2+y^2
\end{array} \right|$$
$$= \left( \frac{\partial}{\partial y}(x^2+y^2) - \frac{\partial}{\partial z}(x^2+z^2) \right) \mathbf{i} - \left( \frac{\partial}{\partial x}(x^2+y^2) - \frac{\partial}{\partial z}(x^2+x^2) \right) \mathbf{j} + \left( \frac{\partial}{\partial x}(x^2+z^2) - \frac{\partial}{\partial y}(x^2+x^2) \right) \mathbf{k}$$
$$= (2y - 2z) \mathbf{i} - (2x - 0) \mathbf{j} + (2x - 2x) \mathbf{k}$$
$$= (2y - 2z) \mathbf{i} - 2x \mathbf{j}$$
步骤 4：计算曲面积分
曲面 $S$ 的法向量为 $\mathbf{n} = (1,1,1)$，因此曲面积分可以写为：
$$\iint_{S} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \iint_{S} ((2y - 2z) \mathbf{i} - 2x \mathbf{j}) \cdot (1,1,1) dS$$
$$= \iint_{S} (2y - 2z - 2x) dS$$
由于 $x+y+z=1$，可以将 $z$ 替换为 $1-x-y$，得到：
$$= \iint_{S} (2y - 2(1-x-y) - 2x) dS$$
$$= \iint_{S} (2y - 2 + 2x + 2y - 2x) dS$$
$$= \iint_{S} (4y - 2) dS$$
由于 $S$ 是一个三角形，其面积为 $\frac{1}{2}$，因此：
$$= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} (4y - 2) dy dx$$
$$= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \left[ 2y^2 - 2y \right]_{0}^{1-x} dx$$
$$= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (2(1-x)^2 - 2(1-x)) dx$$
$$= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (2 - 4x + 2x^2 - 2 + 2x) dx$$
$$= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (2x^2 - 2x) dx$$
$$= \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3}x^3 - x^2 \right]_{0}^{1}$$
$$= \frac{1}{2} \left( \frac{2}{3} - 1 \right)$$
$$= \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{3} \right)$$
$$= -\frac{1}{6}$$