题目

发报台分别以0.7和0.3的概率发出信号A和B，由于信号被干扰，接收未必准确.当发出A时，分别以概率0.8和0.2收到A和B；同样，当发出信号B时，分别以概率0.9和0.1接收到B和A.若此刻接收到的信号为A,求此信号在发报端为A的概率( ).A B

发报台分别以0.7和0.3的概率发出信号A和B，由于信号被干扰，接收未必准确.当发出A时，分别以概率0.8和0.2收到A和B；同样，当发出信号B时，分别以概率0.9和0.1接收到B和A.若此刻接收到的信号为A,求此信号在发报端为A的概率( ).

A $\frac{56}{59}$

B $\frac{3}{59}$

题目解答

答案

设事件 $A_1,A_2$ 分别表示“发报台发出信号 $A$ 和信号 $B$ ”事件 $B_1$ 和 $B_2$ 分别表示“接收台收到信号 $A$ 和信号 $B$ ”事件。由已知， $P\left(A_1\right)=0.7,P\left(A_2\right)=0.3,P\left(B_1|A_1\right)=0.8,P\left(B_2|A_1\right)=0.2$ $P\left(B_1|A_2\right)=0.1,P\left(B_2|A_2\right)=0.9$

由全概率公式 $P\left(B_1\right)=P\left(A_1\right)P\left(B_1|A_1\right)+P\left(A_2\right)P\left(B_1|A_2\right)$ $=0.7\times0.8+0.3\times0.1=0.59$

由贝叶斯公式 $P\left(A_1|B_1\right)=\frac{P\left(A_1\right)P\left(B_1|A_1\right)}{P\left(B_1\right)}=\frac{0.7\times0.8}{0.59}$ $=\frac{56}{59}$

故答案选A

解析

步骤 1：定义事件
设事件A1表示“发报台发出信号A”，事件A2表示“发报台发出信号B”，事件B1表示“接收台收到信号A”，事件B2表示“接收台收到信号B”。根据题意，有$P(A1)=0.7$，$P(A2)=0.3$，$P(B1|A1)=0.8$，$P(B2|A1)=0.2$，$P(B1|A2)=0.1$，$P(B2|A2)=0.9$。

步骤 2：计算接收到信号A的概率
根据全概率公式，接收到信号A的概率为$P(B1)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B1|A2)$。将已知概率代入，得到$P(B1)=0.7\times0.8+0.3\times0.1=0.56+0.03=0.59$。

步骤 3：计算发报端为A的概率
根据贝叶斯公式，发报端为A的概率为$P(A1|B1)=\dfrac{P(A1)P(B1|A1)}{P(B1)}$。将已知概率代入，得到$P(A1|B1)=\dfrac{0.7\times0.8}{0.59}=\dfrac{0.56}{0.59}=\dfrac{56}{59}$。