(14) int dfrac ({x)^2}(sqrt {{a)^2-(x)^2}}dx;

步骤 1：三角代换
令 $x = a\sin\theta$，则 $dx = a\cos\theta d\theta$，且 $\sqrt{a^2 - x^2} = a\cos\theta$。代入原积分，得
$$
\int \dfrac{a^2\sin^2\theta}{a\cos\theta}a\cos\theta d\theta = a^2\int \sin^2\theta d\theta
$$
步骤 2：使用二倍角公式
使用二倍角公式 $\sin^2\theta = \dfrac{1 - \cos2\theta}{2}$，得
$$
a^2\int \dfrac{1 - \cos2\theta}{2} d\theta = \dfrac{a^2}{2}\int (1 - \cos2\theta) d\theta
$$
步骤 3：积分
对上式进行积分，得
$$
\dfrac{a^2}{2}\left(\theta - \dfrac{1}{2}\sin2\theta\right) + C
$$
步骤 4：反代换
由于 $\theta = \arcsin\dfrac{x}{a}$，且 $\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = 2\dfrac{x}{a}\dfrac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}$，代入上式，得
$$
\dfrac{a^2}{2}\arcsin\dfrac{x}{a} - \dfrac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + C
$$