题目
iint xdydz+ydxdz+zdxdy， 其中iint xdydz+ydxdz+zdxdy为平面x=0，y=0，z=0，iint xdydz+ydxdz+zdxdy所围立体的全表面的外侧.A iint xdydz+ydxdz+zdxdyB iint xdydz+ydxdz+zdxdyC iint xdydz+ydxdz+zdxdyD iint xdydz+ydxdz+zdxdy
， 其中
为平面x=0，y=0，z=0，
所围立体的全表面的外侧.
A 
B 
C 
D 
题目解答
答案
，其中V为平面x=0，y=0，z=0，所围立体，综上故选C。
解析
步骤 1：确定积分区域
题目中提到的积分区域是由平面x=0，y=0，z=0，$x+y+z=a(a\gt 0)$所围成的立体的全表面的外侧。这个立体是一个四面体，其顶点为(0,0,0)，(a,0,0)，(0,a,0)，(0,0,a)。
步骤 2：应用高斯定理
根据高斯定理，对于一个闭合曲面S，如果F是一个向量场，那么$\iint_S F \cdot dS = \iiint_V \nabla \cdot F dV$，其中V是S所围成的体积，$\nabla \cdot F$是F的散度。题目中的向量场F=(x,y,z)，其散度$\nabla \cdot F = 1+1+1=3$。
步骤 3：计算体积积分
由于$\nabla \cdot F = 3$，所以$\iint_S F \cdot dS = \iiint_V 3 dV = 3V$，其中V是四面体的体积。四面体的体积$V = \frac{1}{6}a^3$，因此$\iint_S F \cdot dS = 3 \times \frac{1}{6}a^3 = \frac{1}{2}a^3$。
题目中提到的积分区域是由平面x=0，y=0，z=0，$x+y+z=a(a\gt 0)$所围成的立体的全表面的外侧。这个立体是一个四面体，其顶点为(0,0,0)，(a,0,0)，(0,a,0)，(0,0,a)。
步骤 2：应用高斯定理
根据高斯定理，对于一个闭合曲面S，如果F是一个向量场，那么$\iint_S F \cdot dS = \iiint_V \nabla \cdot F dV$，其中V是S所围成的体积，$\nabla \cdot F$是F的散度。题目中的向量场F=(x,y,z)，其散度$\nabla \cdot F = 1+1+1=3$。
步骤 3：计算体积积分
由于$\nabla \cdot F = 3$，所以$\iint_S F \cdot dS = \iiint_V 3 dV = 3V$，其中V是四面体的体积。四面体的体积$V = \frac{1}{6}a^3$，因此$\iint_S F \cdot dS = 3 \times \frac{1}{6}a^3 = \frac{1}{2}a^3$。