一人从 10 m 深的井中提水.起始时桶中装有 10 kg 的水,桶的质量为 1 kg ,由于水桶漏水,每升高 1 m 要漏去 0.2 kg 的水.求水桶匀速地从井中提到井口,人所做的功.

步骤 1：确定水桶和水的总质量随高度变化的函数
水桶的总质量随高度变化，起始时总质量为 11 kg（10 kg 水 + 1 kg 桶），每升高 1 m 漏去 0.2 kg 的水。因此，当水桶上升到高度 h 时，总质量为 \(11 - 0.2h\) kg。

步骤 2：计算水桶上升过程中人所做的功
人所做的功等于克服重力所做的功，即 \(W = \int_{0}^{10} (11 - 0.2h)g dh\)，其中 g 是重力加速度，取值为 9.8 m/s²。将积分计算出来，得到人所做的功。

步骤 3：计算积分
\(W = \int_{0}^{10} (11 - 0.2h)g dh = g \int_{0}^{10} (11 - 0.2h) dh = g \left[11h - 0.1h^2\right]_{0}^{10} = 9.8 \times (11 \times 10 - 0.1 \times 10^2) = 9.8 \times (110 - 10) = 9.8 \times 100 = 980\) J。