已知当 x to 0 时, x^2 ln (1 + x^2) 是 sin^n x 的高阶无穷小, 而 sin^n x 又是 1 - cos x 的高阶无穷小, 求正整数 n.

我们来逐步分析并解决这个题目。 --- ### **题目已知：** 当 $ x \to 0 $ 时： 1. $ x^2 \ln(1 + x^2) $ 是 $ \sin^n x $ 的**高阶无穷小**； 2. $ \sin^n x $ 是 $ 1 - \cos x $ 的**高阶无穷小**。 要求：求正整数 $ n $。 --- ### **第一步：理解“高阶无穷小”的含义** 若 $ f(x) $ 是 $ g(x) $ 的高阶无穷小（当 $ x \to 0 $），意思是： $$ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 $$ 所以题目给出两个极限条件： 1. $$ \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \ln(1 + x^2)}{\sin^n x} = 0 $$ 2. $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin^n x}{1 - \cos x} = 0 $$ 我们要找到满足这两个条件的**正整数** $ n $。 --- ### **第二步：利用等价无穷小进行替换** 当 $ x \to 0 $ 时，有以下常见等价无穷小： - $ \sin x \sim x $ - $ 1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2 $ - $ \ln(1 + u) \sim u $，当 $ u \to 0 $ 我们逐个分析表达式。 --- #### **分析 1：$ x^2 \ln(1 + x^2) $ 的阶数** 令 $ u = x^2 \to 0 $，则： $$ \ln(1 + x^2) \sim x^2 \quad (x \to 0) $$ 所以： $$ x^2 \ln(1 + x^2) \sim x^2 \cdot x^2 = x^4 $$ 因此： $$ x^2 \ln(1 + x^2) \sim x^4 \quad (x \to 0) $$ --- #### **分析 2：$ \sin^n x $ 的阶数** 由于 $ \sin x \sim x $，所以： $$ \sin^n x \sim x^n $$ --- #### **分析 3：$ 1 - \cos x $ 的阶数** $$ 1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2 $$ --- ### **第三步：将条件转化为关于阶数的比较** 我们现在用阶数来分析两个极限条件。 --- #### **条件1：** $$ \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \ln(1 + x^2)}{\sin^n x} = 0 $$ 分子 $ \sim x^4 $，分母 $ \sim x^n $，所以： $$ \frac{x^4}{x^n} = x^{4 - n} $$ 这个极限为 0，当且仅当 $ 4 - n > 0 $，即： $$ n < 4 $$ --- #### **条件2：** $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin^n x}{1 - \cos x} = 0 $$ 分子 $ \sim x^n $，分母 $ \sim x^2 $，所以： $$ \frac{x^n}{x^2} = x^{n - 2} $$ 这个极限为 0，当且仅当 $ n - 2 > 0 $，即： $$ n > 2 $$ --- ### **第四步：联立两个不等式** 我们有： - $ n < 4 $ - $ n > 2 $ - 且 $ n $ 是**正整数** 所以可能的 $ n $ 是： $$ n = 3 $$ --- ### **第五步：验证 $ n = 3 $ 是否满足条件** 我们验证两个极限是否为 0。 --- #### **验证条件1：** $$ \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \ln(1 + x^2)}{\sin^3 x} $$ 分子 $ \sim x^4 $，分母 $ \sim x^3 $，所以整体 $ \sim x^{4-3} = x \to 0 $，满足。 --- #### **验证条件2：** $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin^3 x}{1 - \cos x} \sim \frac{x^3}{\frac{1}{2}x^2} = 2x \to 0 $$ 也满足。 --- ### **结论：** 唯一满足两个条件的正整数是 $ n = 3 $。 --- ### **最终答案：** $$ \boxed{3} $$