用一个1.0mm内有500条刻痕的平面透射光栅观察钠光谱(λ=589nm)，设透镜焦距f=1.00m。问：(1)光线垂直入射时,最多能看到第几级光谱;-|||-(2)光线以入射角30°入射时,最多能看到第几级-|||-光谱;-|||-(3)若用白光垂直照射光栅,求第一级光谱的线-|||-宽度。

步骤 1：计算光栅常数
光栅常数 $d$ 是指光栅上相邻两条刻痕之间的距离。题目中给出光栅在1.0mm内有500条刻痕，因此光栅常数 $d$ 可以通过以下公式计算：
$$
d = \frac{1.0 \times 10^{-3} \text{m}}{500} = 2 \times 10^{-6} \text{m}
$$
步骤 2：光线垂直入射时，最多能看到第几级光谱
当光线垂直入射时，光栅衍射明纹的条件为：
$$
d \sin \varphi = \pm k \lambda
$$
其中，$\varphi$ 是衍射角，$k$ 是光谱级次，$\lambda$ 是光波长。当 $\sin \varphi = 1$ 时，可以求得最多能看到的光谱级次 $k_m$：
$$
k_m = \pm \frac{d}{\lambda} = \pm \frac{2 \times 10^{-6} \text{m}}{589 \times 10^{-9} \text{m}} = \pm 3.39
$$
因此，最多可以看到第3级光谱。
步骤 3：光线以入射角30°入射时，最多能看到第几级光谱
当光线以入射角30°入射时，光栅明纹的条件为：
$$
(a+b)(\sin i \pm \sin \varphi) = \pm k \lambda
$$
其中，$a+b$ 是光栅常数，$i$ 是入射角，$\varphi$ 是衍射角，$k$ 是光谱级次，$\lambda$ 是光波长。令 $\sin \varphi = 1$，可求得位于中央主极大两侧，能观察到条纹的最大 $k_{max}$ 值分别为 $k_{max1}$ 和 $k_{max2}$（已取整数值），故在法线两侧能观察到的最大级次分别为第五级和第一级。
步骤 4：用白光垂直照射光栅，求第一级光谱的线宽度
白光的波长范围为 $400nm \sim 760nm$，用白光垂直照射时，由光栅公式可分别求出 $\lambda_1 = 400nm$ 和 $\lambda_2 = 760nm$ 第一级光谱的衍射角 $\varphi_1$ 和 $\varphi_2$。光栅公式为：
$$
d \sin \varphi = k \lambda
$$
其中，$k=1$ 时，$\varphi_1 = \arcsin \frac{\lambda_1}{d}$，$\varphi_2 = \arcsin \frac{\lambda_2}{d}$。利用公式 $\tan \varphi = \frac{x}{f}$ 可得明纹的位置：
$$
x_1 = f \tan \varphi_1 = 0.2m
$$
$$
x_2 = f \tan \varphi_2 = 0.41m
$$
第一级谱线的线宽度为：
$$
\Delta x = x_2 - x_1 = 0.21m
$$