题目

设函数f(x)=sin x,f[varphi(x)]=1-x^2,求varphi(x).

设函数$f(x)=\sin x,f[\varphi(x)]=1-x^{2}$,求$\varphi(x)$.

题目解答

答案

已知 $ f(x) = \sin x $，且 $ f[\varphi(x)] = 1 - x^2 $，则有： \[ \sin[\varphi(x)] = 1 - x^2 \] 取反正弦函数得： \[ \varphi(x) = \arcsin(1 - x^2) \] 为使 $\varphi(x)$ 有意义，需满足： \[ -1 \leq 1 - x^2 \leq 1 \] 解得： \[ -\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2} \] **答案：** \[ \boxed{\varphi(x) = \arcsin(1 - x^2), \quad x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]} \]

解析

考查要点：本题主要考查函数的复合关系及反三角函数的应用，同时涉及函数定义域的求解。

解题核心思路：

  1. 理解复合函数关系：由$f[\varphi(x)] = 1 - x^2$可知，$\varphi(x)$是$f(x) = \sin x$的输入变量，即$\sin[\varphi(x)] = 1 - x^2$。
  2. 反三角函数求解：利用反正弦函数$\arcsin$将方程转化为$\varphi(x)$的表达式。
  3. 定义域限制：根据反正弦函数的定义域要求，确定$x$的取值范围。

破题关键点：

  • 方程变形：将$\sin[\varphi(x)] = 1 - x^2$转化为$\varphi(x) = \arcsin(1 - x^2)$。
  • 定义域分析：确保$1 - x^2$在$[-1, 1]$范围内，从而求出$x$的有效区间。

  1. 建立方程关系
    已知$f(x) = \sin x$，且$f[\varphi(x)] = 1 - x^2$，代入得：
    $\sin[\varphi(x)] = 1 - x^2.$

  2. 应用反正弦函数
    对方程两边取反正弦函数，得：
    $\varphi(x) = \arcsin(1 - x^2).$

  3. 确定定义域
    $\arcsin$函数的参数必须满足$-1 \leq 1 - x^2 \leq 1$，解不等式：

    • 下限：$1 - x^2 \geq -1 \implies x^2 \leq 2 \implies x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.
    • 上限：$1 - x^2 \leq 1 \implies x^2 \geq 0$（恒成立）。
      综上，定义域为$x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.