题目
函数=(c)_(1)(e)^x+(c)_(2)(e)^-x+x(e)^2 满足的一个微分方程是 （ ）A.=(c)_(1)(e)^x+(c)_(2)(e)^-x+x(e)^2B.=(c)_(1)(e)^x+(c)_(2)(e)^-x+x(e)^2C.=(c)_(1)(e)^x+(c)_(2)(e)^-x+x(e)^2D.=(c)_(1)(e)^x+(c)_(2)(e)^-x+x(e)^2
函数
满足的一个微分方程是 （ ）
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
由题意，若函数是微分方程的一个通解，则该微分方程为二阶微分方程，再由微分方程解的结构可知，微分方程的特征方程有两个根
，且方程有特解
，则微分方程的齐次方程为
，将特解代入齐次方程得，即满足条件的微分方程为。
故选：D
解析
步骤 1：确定微分方程的阶数
函数$y={c}_{1}{e}^{x}+{c}_{2}{e}^{-x}+x{e}^{2}$包含两个独立的指数函数${e}^{x}$和${e}^{-x}$，以及一个多项式与指数函数的乘积$x{e}^{2}$。由于有两项是指数函数，这表明微分方程至少是二阶的，因为二阶微分方程可以有两组线性独立的解。
步骤 2：确定微分方程的齐次部分
由于${e}^{x}$和${e}^{-x}$是微分方程的解，这意味着微分方程的特征方程有两个根${r}_{1}=1$和${r}_{2}=-1$。因此，微分方程的齐次部分为$y''-y=0$。
步骤 3：确定微分方程的非齐次部分
由于$x{e}^{2}$是微分方程的一个特解，我们需要将它代入齐次方程$y''-y=0$中，以确定非齐次部分。将$y=x{e}^{2}$代入$y''-y=0$，得到$2{e}^{x}-x{e}^{2}=2{e}^{x}$。因此，非齐次部分为$2{e}^{x}$。
函数$y={c}_{1}{e}^{x}+{c}_{2}{e}^{-x}+x{e}^{2}$包含两个独立的指数函数${e}^{x}$和${e}^{-x}$，以及一个多项式与指数函数的乘积$x{e}^{2}$。由于有两项是指数函数，这表明微分方程至少是二阶的，因为二阶微分方程可以有两组线性独立的解。
步骤 2：确定微分方程的齐次部分
由于${e}^{x}$和${e}^{-x}$是微分方程的解，这意味着微分方程的特征方程有两个根${r}_{1}=1$和${r}_{2}=-1$。因此，微分方程的齐次部分为$y''-y=0$。
步骤 3：确定微分方程的非齐次部分
由于$x{e}^{2}$是微分方程的一个特解，我们需要将它代入齐次方程$y''-y=0$中，以确定非齐次部分。将$y=x{e}^{2}$代入$y''-y=0$，得到$2{e}^{x}-x{e}^{2}=2{e}^{x}$。因此，非齐次部分为$2{e}^{x}$。