题目
设电路由A,B,C三个元件组成，若元件A,B,C发生故障的概率分别是0.3,0.2,0.2，且各元件独立工作，试在以下情况下，求此电路发生故障的概率：（1）A,B,C三个元件串联（2）A,B,C三个元件并联（3）元件A与两个并联的元件B及C串联
设电路由A,B,C三个元件组成，若元件A,B,C发生故障的概率分别是0.3,0.2,0.2，且各元件独立工作，试在以下情况下，求此电路发生故障的概率：
（1）A,B,C三个元件串联
（2）A,B,C三个元件并联
（3）元件A与两个并联的元件B及C串联
题目解答
答案
解：记E为电路发生故障，
分别代表元件A,B,C发生故障
由题意可知，
（1）
A,B,C三个元件串联的概率为0.552
（2）
A,B,C三个元件并联的概率为0.012
（3）
元件A与两个并联的元件B及C串联的概率为0.328
解析
步骤 1：定义事件
记E为电路发生故障，EA,EB,EC分别代表元件A,B,C发生故障。由题意可知，$P({E}_{A})=0.3$，$P({E}_{B})=0.2$，$P({E}_{C})=0.2$。
步骤 2：计算串联情况下的故障概率
（1）当A,B,C三个元件串联时，电路发生故障的概率等于三个元件中至少有一个发生故障的概率。由于各元件独立工作，所以$P(E) = 1 - P(\overline{E}) = 1 - P(\overline{E}_{A})P(\overline{E}_{B})P(\overline{E}_{C}) = 1 - (1 - 0.3)(1 - 0.2)(1 - 0.2) = 1 - 0.7 \times 0.8 \times 0.8 = 1 - 0.448 = 0.552$。
步骤 3：计算并联情况下的故障概率
（2）当A,B,C三个元件并联时，电路发生故障的概率等于三个元件都发生故障的概率。由于各元件独立工作，所以$P(E) = P({E}_{A})P({E}_{B})P({E}_{C}) = 0.3 \times 0.2 \times 0.2 = 0.012$。
步骤 4：计算元件A与两个并联的元件B及C串联情况下的故障概率
（3）当元件A与两个并联的元件B及C串联时，电路发生故障的概率等于元件A发生故障或元件B和C都发生故障的概率。由于各元件独立工作，所以$P(E) = P({E}_{A}) + P({E}_{B})P({E}_{C}) - P({E}_{A})P({E}_{B})P({E}_{C}) = 0.3 + 0.2 \times 0.2 - 0.3 \times 0.2 \times 0.2 = 0.3 + 0.04 - 0.012 = 0.328$。
记E为电路发生故障，EA,EB,EC分别代表元件A,B,C发生故障。由题意可知，$P({E}_{A})=0.3$，$P({E}_{B})=0.2$，$P({E}_{C})=0.2$。
步骤 2：计算串联情况下的故障概率
（1）当A,B,C三个元件串联时，电路发生故障的概率等于三个元件中至少有一个发生故障的概率。由于各元件独立工作，所以$P(E) = 1 - P(\overline{E}) = 1 - P(\overline{E}_{A})P(\overline{E}_{B})P(\overline{E}_{C}) = 1 - (1 - 0.3)(1 - 0.2)(1 - 0.2) = 1 - 0.7 \times 0.8 \times 0.8 = 1 - 0.448 = 0.552$。
步骤 3：计算并联情况下的故障概率
（2）当A,B,C三个元件并联时，电路发生故障的概率等于三个元件都发生故障的概率。由于各元件独立工作，所以$P(E) = P({E}_{A})P({E}_{B})P({E}_{C}) = 0.3 \times 0.2 \times 0.2 = 0.012$。
步骤 4：计算元件A与两个并联的元件B及C串联情况下的故障概率
（3）当元件A与两个并联的元件B及C串联时，电路发生故障的概率等于元件A发生故障或元件B和C都发生故障的概率。由于各元件独立工作，所以$P(E) = P({E}_{A}) + P({E}_{B})P({E}_{C}) - P({E}_{A})P({E}_{B})P({E}_{C}) = 0.3 + 0.2 \times 0.2 - 0.3 \times 0.2 \times 0.2 = 0.3 + 0.04 - 0.012 = 0.328$。