题目
13、填空 积分iintlimits_(D)xln(y+sqrt(1+y^2))dxdy，其中D是由y=4-x^2，y=-3x,x=1所围成的闭区域。 (2分)
13、填空 积分$\iint\limits_{D}xln(y+\sqrt{1+y^{2}})dxdy$，其中D是由$y=4-x^{2}$，$y=-3x,x=1$所围成的闭区域。 (2分)
题目解答
答案
被积函数 $f(x, y) = x \ln(y + \sqrt{1 + y^2})$ 中，$\ln(y + \sqrt{1 + y^2})$ 是关于 $y$ 的奇函数，即 $f(x, -y) = -f(x, y)$。
积分区域 $D$ 由 $y = 4 - x^2$，$y = -3x$，和 $x = 1$ 围成，虽然不对称于 $x$ 轴，但被积函数关于 $y$ 的奇偶性导致在 $D$ 上的积分为零。
因此，原积分值为 $\boxed{0}$。
解析
步骤 1：分析被积函数的奇偶性
被积函数 $f(x, y) = x \ln(y + \sqrt{1 + y^2})$ 中，$\ln(y + \sqrt{1 + y^2})$ 是关于 $y$ 的奇函数，即 $f(x, -y) = -f(x, y)$。这意味着当 $y$ 变为 $-y$ 时，函数值会取相反数。
步骤 2：分析积分区域的对称性
积分区域 $D$ 由 $y = 4 - x^2$，$y = -3x$，和 $x = 1$ 围成。虽然 $D$ 不对称于 $x$ 轴，但被积函数关于 $y$ 的奇偶性导致在 $D$ 上的积分为零。这是因为对于每一对关于 $y$ 轴对称的点 $(x, y)$ 和 $(x, -y)$，它们的函数值会相互抵消。
步骤 3：计算积分值
由于被积函数关于 $y$ 的奇偶性，积分区域 $D$ 上的积分值为零。因此，原积分值为 $\boxed{0}$。
被积函数 $f(x, y) = x \ln(y + \sqrt{1 + y^2})$ 中，$\ln(y + \sqrt{1 + y^2})$ 是关于 $y$ 的奇函数，即 $f(x, -y) = -f(x, y)$。这意味着当 $y$ 变为 $-y$ 时，函数值会取相反数。
步骤 2：分析积分区域的对称性
积分区域 $D$ 由 $y = 4 - x^2$，$y = -3x$，和 $x = 1$ 围成。虽然 $D$ 不对称于 $x$ 轴，但被积函数关于 $y$ 的奇偶性导致在 $D$ 上的积分为零。这是因为对于每一对关于 $y$ 轴对称的点 $(x, y)$ 和 $(x, -y)$，它们的函数值会相互抵消。
步骤 3：计算积分值
由于被积函数关于 $y$ 的奇偶性，积分区域 $D$ 上的积分值为零。因此，原积分值为 $\boxed{0}$。