题目

13.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为-|||-f(x,y)= ) 3x,0lt ylt x,0lt xlt 1 0 .-|||-求 =x-y 的概率密度fz(z).

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查二维随机变量函数的概率密度求解，涉及分布函数法或变量变换法的应用，需要掌握积分区域的确定及概率密度的转换。

解题核心思路：

  1. 确定Z的取值范围：由条件$0 < Y < X < 1$可知，$Z = X - Y$的最小值为$0$（当$Y \to X$时），最大值为$1$（当$Y = 0$且$X = 1$时），故$Z$的取值范围为$0 < Z < 1$。
  2. 选择方法：通过分布函数法计算$F_Z(z) = P(X - Y \leq z)$，再对$z$求导得到$f_Z(z)$。
  3. 积分区域划分：根据$X$的取值范围，将积分分为两部分：$X \leq z$和$X > z$，分别计算对应的概率积分。

步骤1：确定Z的取值范围

由$0 < Y < X < 1$，得$Z = X - Y$的取值范围为$0 < Z < 1$。

步骤2：计算分布函数$F_Z(z)$

当$0 < z < 1$时：
$F_Z(z) = P(X - Y \leq z) = \iint_{\substack{0 < y < x < 1 \\ x - y \leq z}} f(x,y) \, dy \, dx$

积分区域划分

  1. 当$X \leq z$时：$Y$的范围为$0 < Y < X$，此时$x - y \leq z$恒成立。
  2. 当$X > z$时：$Y$的范围为$x - z < Y < X$。

分步积分

  1. 第一部分积分（$X \leq z$）：
    $\int_{0}^{z} \int_{0}^{x} 3x \, dy \, dx = \int_{0}^{z} 3x \cdot x \, dx = \int_{0}^{z} 3x^2 \, dx = z^3$

  2. 第二部分积分（$X > z$）：
    $\int_{z}^{1} \int_{x-z}^{x} 3x \, dy \, dx = \int_{z}^{1} 3x \cdot z \, dx = 3z \int_{z}^{1} x \, dx = 3z \left( \frac{1}{2} - \frac{z^2}{2} \right) = \frac{3z}{2}(1 - z^2)$

合并结果

$F_Z(z) = z^3 + \frac{3z}{2}(1 - z^2) = \frac{3z}{2} - \frac{z^3}{2}$

步骤3：求导得概率密度$f_Z(z)$

对$F_Z(z)$求导：
$f_Z(z) = \frac{d}{dz} \left( \frac{3z}{2} - \frac{z^3}{2} \right) = \frac{3}{2}(1 - z^2)$