题目
求int dfrac (sqrt {{x)^2-9}}(x)dx.
求
.
题目解答
答案
答案：
设
，则
∴
∵
∴
解析
步骤 1：三角代换
设$x=3\sec \theta$，则$dx=3\sec \theta \tan \theta d\theta$。这里使用三角代换，因为$\sec \theta$的平方减去1等于$\tan \theta$的平方，这将有助于简化根号内的表达式。
步骤 2：代入并简化
将$x=3\sec \theta$和$dx=3\sec \theta \tan \theta d\theta$代入原积分，得到$\int \dfrac {\sqrt {{x}^{2}-9}}{x}dx=\int \dfrac {3\tan \theta }{3\sec \theta }\cdot 3\sec \theta \cdot \tan \theta d\theta$。简化后得到$\int 3\tan^2 \theta d\theta$。
步骤 3：积分
利用三角恒等式$\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$，将积分转换为$\int 3(\sec^2 \theta - 1)d\theta$。这可以进一步分解为$3\int \sec^2 \theta d\theta - 3\int d\theta$。积分后得到$3\tan \theta - 3\theta + C$。
步骤 4：回代
由于$x=3\sec \theta$，则$\sec \theta = \dfrac{x}{3}$，从而$\theta = \arccos \dfrac{3}{x}$。同时，$\tan \theta = \sqrt{\sec^2 \theta - 1} = \sqrt{\dfrac{x^2}{9} - 1} = \dfrac{\sqrt{x^2 - 9}}{3}$。因此，$3\tan \theta - 3\theta + C$可以写为$\sqrt{x^2 - 9} - 3\arccos \dfrac{3}{x} + C$。
设$x=3\sec \theta$，则$dx=3\sec \theta \tan \theta d\theta$。这里使用三角代换，因为$\sec \theta$的平方减去1等于$\tan \theta$的平方，这将有助于简化根号内的表达式。
步骤 2：代入并简化
将$x=3\sec \theta$和$dx=3\sec \theta \tan \theta d\theta$代入原积分，得到$\int \dfrac {\sqrt {{x}^{2}-9}}{x}dx=\int \dfrac {3\tan \theta }{3\sec \theta }\cdot 3\sec \theta \cdot \tan \theta d\theta$。简化后得到$\int 3\tan^2 \theta d\theta$。
步骤 3：积分
利用三角恒等式$\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$，将积分转换为$\int 3(\sec^2 \theta - 1)d\theta$。这可以进一步分解为$3\int \sec^2 \theta d\theta - 3\int d\theta$。积分后得到$3\tan \theta - 3\theta + C$。
步骤 4：回代
由于$x=3\sec \theta$，则$\sec \theta = \dfrac{x}{3}$，从而$\theta = \arccos \dfrac{3}{x}$。同时，$\tan \theta = \sqrt{\sec^2 \theta - 1} = \sqrt{\dfrac{x^2}{9} - 1} = \dfrac{\sqrt{x^2 - 9}}{3}$。因此，$3\tan \theta - 3\theta + C$可以写为$\sqrt{x^2 - 9} - 3\arccos \dfrac{3}{x} + C$。