极限 lim _(xarrow infty )((dfrac {x+1)(x-1))}^x= __

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是处理形如$\left(1+\frac{a}{x}\right)^x$型的极限，需要灵活运用自然对数转换或变量替换等技巧。

解题核心思路：

1. 将分式$\dfrac{x+1}{x-1}$变形为$1+\dfrac{2}{x-1}$，使其接近标准形式$\left(1+\dfrac{a}{x}\right)^x$。
2. 取自然对数将指数型极限转化为多项式极限，利用泰勒展开或等价无穷小简化计算。
3. 通过变量替换（如令$t = x-1$）将问题转化为已知的极限形式。

破题关键点：

• 识别分式结构，将分子分母同除以$x$，分离出$1+\dfrac{2}{x-1}$的形式。
• 正确应用极限公式$\lim_{x \to \infty} \left(1+\dfrac{a}{x}\right)^x = e^a$，注意指数与分母的对应关系。

步骤1：变形分式
将分式$\dfrac{x+1}{x-1}$变形为：
$\dfrac{x+1}{x-1} = 1 + \dfrac{2}{x-1}.$

步骤2：变量替换
令$t = x-1$，当$x \to \infty$时，$t \to \infty$。原式变为：
$\left(1 + \dfrac{2}{t}\right)^{t+1} = \left(1 + \dfrac{2}{t}\right)^t \cdot \left(1 + \dfrac{2}{t}\right).$

步骤3：应用极限公式
根据极限公式$\lim_{t \to \infty} \left(1+\dfrac{a}{t}\right)^t = e^a$，得：
$\lim_{t \to \infty} \left(1 + \dfrac{2}{t}\right)^t = e^2.$
而$\lim_{t \to \infty} \left(1 + \dfrac{2}{t}\right) = 1$，因此原式极限为：
$e^2 \cdot 1 = e^2.$

步骤4：验证（自然对数法）
设原式为$L$，取自然对数：
$\ln L = x \cdot \ln\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right) = x \cdot \ln\left(1 + \dfrac{2}{x-1}\right).$
当$x \to \infty$时，$\dfrac{2}{x-1} \to 0$，利用泰勒展开$\ln(1+y) \approx y$（$y$为小量），得：
$\ln L \approx x \cdot \dfrac{2}{x-1} = \dfrac{2x}{x-1} \to 2.$
因此$L = e^2$。