.1-8 已知质点的运动方程为 =2ti+(2-(t)^2)j ,式中r的单位为m,t的单位为s.求:-|||-(1)质点的轨迹;(2) t=0 及 t=2s 时质点的位矢;(3)由 t=0 到 t=2s 时质点的位移 Delta r 和-|||-径向增量 Delta r ;(4)2s内质点所经过的路程s.

步骤 1：求质点的轨迹
质点的运动方程为 $r=2ti+(2-{t}^{2})j$，其中 $r$ 的单位为 m，$t$ 的单位为 s。质点的轨迹可以通过消去时间变量 $t$ 来得到。令 $x=2t$ 和 $y=2-t^2$，则有 $t=x/2$，代入 $y$ 的表达式中，得到 $y=2-(x/2)^2$，即 $y=2-0.25x^2$。因此，质点的轨迹为 $y=2-0.25x^2$。
步骤 2：求 t=0 及 t=2s 时质点的位矢
当 $t=0$ 时，质点的位矢为 $r=2(0)i+(2-(0)^2)j=2j$ m。
当 $t=2$ s 时，质点的位矢为 $r=2(2)i+(2-(2)^2)j=4i-2j$ m。
步骤 3：求由 t=0 到 t=2s 时质点的位移 $\Delta r$ 和径向增量 $\Delta r$
质点的位移 $\Delta r$ 为 $r(2)-r(0)=(4i-2j)-(2j)=4i-4j$ m。
径向增量 $\Delta r$ 为 $\sqrt{(4)^2+(-4)^2}=2\sqrt{2}$ m。
步骤 4：求2s内质点所经过的路程s
质点的运动方程为 $r=2ti+(2-{t}^{2})j$，则质点的速度为 $v=dr/dt=2i-2tj$。质点的路程为 $s=\int_{0}^{2} |v| dt=\int_{0}^{2} \sqrt{(2)^2+(-2t)^2} dt=\int_{0}^{2} \sqrt{4+4t^2} dt$。令 $u=2t$，则 $du=2dt$，代入上式，得到 $s=\int_{0}^{4} \sqrt{1+u^2} du/2$。令 $u=\tan\theta$，则 $du=\sec^2\theta d\theta$，代入上式，得到 $s=\int_{0}^{\arctan(2)} \sec^3\theta d\theta/2$。利用积分公式 $\int \sec^3\theta d\theta=\frac{1}{2}(\sec\theta\tan\theta+\ln|\sec\theta+\tan\theta|)+C$，得到 $s=\frac{1}{4}(\sec\theta\tan\theta+\ln|\sec\theta+\tan\theta|)|_{0}^{\arctan(2)}$。代入 $\theta=\arctan(2)$，得到 $s=\frac{1}{4}(2\sqrt{5}+\ln(2+\sqrt{5}))$ m。