题目
15.质量为M的均质圆盘,可绕通过盘中心垂直于盘面的固定光滑轴转动.绕过盘的边缘挂-|||-有质量为m、长为l的匀质柔软绳索,如图所示.绳与滑轮之间无相对滑动,当圆盘两侧绳-|||-长之差为S时,绳的加速度为多大?-|||-M-|||-r-|||-S-|||-第15题图
题目解答
答案
解析
步骤 1：建立坐标系和受力分析
建立如图所示的坐标系。设任一时刻圆盘两侧绳长分别为$x_1$和$x_2$。以长度为$x_1$和$x_2$的两段绳和盘为研究对象，根据牛顿运动定律和转动定律，则有：
- 对于$x_2$段绳子：$x_2 \rho g - T_2 = -x_2 \rho a$，其中$\rho$是绳子的线密度，$T_2$是绳子的张力，$a$是绳子的加速度。
- 对于$x_1$段绳子：$x_1 \rho g - T_1 = -x_1 \rho a$，其中$T_1$是绳子的张力。
- 对于圆盘：$(x_2 - x_1) \rho gr + (T_2 - T_1)r = (\frac{1}{2}M r^2 + \pi r^2) \alpha$，其中$\alpha$是圆盘的角加速度，$r$是圆盘的半径。
步骤 2：利用绳子和圆盘的运动关系
绳子的加速度$a$和圆盘的角加速度$\alpha$之间的关系为$a = r \alpha$。同时，绳子的长度关系为$l = \pi r + x_1 + x_2$，绳子两侧长度之差为$s = x_1 - x_2$。
步骤 3：联立方程求解
联立上述方程，利用$\rho = \frac{m}{l}$，解得绳子的加速度$a$为：
\[ a = \frac{mg}{m + \frac{1}{2}M} \]
建立如图所示的坐标系。设任一时刻圆盘两侧绳长分别为$x_1$和$x_2$。以长度为$x_1$和$x_2$的两段绳和盘为研究对象，根据牛顿运动定律和转动定律，则有：
- 对于$x_2$段绳子：$x_2 \rho g - T_2 = -x_2 \rho a$，其中$\rho$是绳子的线密度，$T_2$是绳子的张力，$a$是绳子的加速度。
- 对于$x_1$段绳子：$x_1 \rho g - T_1 = -x_1 \rho a$，其中$T_1$是绳子的张力。
- 对于圆盘：$(x_2 - x_1) \rho gr + (T_2 - T_1)r = (\frac{1}{2}M r^2 + \pi r^2) \alpha$，其中$\alpha$是圆盘的角加速度，$r$是圆盘的半径。
步骤 2：利用绳子和圆盘的运动关系
绳子的加速度$a$和圆盘的角加速度$\alpha$之间的关系为$a = r \alpha$。同时，绳子的长度关系为$l = \pi r + x_1 + x_2$，绳子两侧长度之差为$s = x_1 - x_2$。
步骤 3：联立方程求解
联立上述方程，利用$\rho = \frac{m}{l}$，解得绳子的加速度$a$为：
\[ a = \frac{mg}{m + \frac{1}{2}M} \]