题目
10.（2.0分）设A,B都是3阶方阵，且|A|=-3，|B|=2，则|-2A^TB^T|等于____.
10.（2.0分）设A,B都是3阶方阵，且$|A|=-3$，$|B|=2$，则$|-2A^{T}B^{T}|$等于____.
题目解答
答案
利用矩阵行列式的性质，有：
\[
|-2A^T B^T| = (-2)^3 |A^T| |B^T| = -8 |A| |B|
\]
已知 $|A| = -3$，$|B| = 2$，代入得：
\[
-8 \times (-3) \times 2 = 48
\]
**答案：** $\boxed{48}$
解析
考查要点：本题主要考查矩阵行列式的性质，包括转置矩阵的行列式、标量乘法对行列式的影响，以及矩阵乘积的行列式性质。
解题核心思路：
- 转置矩阵的行列式：矩阵转置后行列式不变，即$|A^T| = |A|$。
- 矩阵乘积的行列式：$|AB| = |A||B|$，因此$|A^T B^T| = |A||B|$。
- 标量乘法的行列式：对于$n$阶方阵，$|kA| = k^n |A|$，其中$n$为矩阵的阶数。
破题关键点：
- 将$-2A^T B^T$分解为标量乘法与矩阵乘积的组合，逐步应用行列式的性质。
步骤1：处理转置矩阵的行列式
根据转置矩阵的行列式性质：
$|A^T| = |A| = -3, \quad |B^T| = |B| = 2.$
步骤2：计算矩阵乘积的行列式
矩阵乘积的行列式为：
$|A^T B^T| = |A^T| \cdot |B^T| = (-3) \cdot 2 = -6.$
步骤3：处理标量乘法的行列式
将$-2A^T B^T$视为标量$-2$与矩阵$A^T B^T$的乘积，应用标量乘法的行列式性质：
$|-2A^T B^T| = (-2)^3 \cdot |A^T B^T| = (-8) \cdot (-6) = 48.$