题目
求旋转椭球面3x^2+y^2+z^2=16上点(-1, -2, 3)处的切平面与xOy面的夹角的余弦.
求旋转椭球面$$3x^2+y^2+z^2=16$$上点(-1, -2, 3)处的切平面与xOy面的夹角的余弦.
题目解答
答案
xOy面的法向为$$n_1=(0, 0, 1)$$.
令$$F(x, y, z)=3x^2+y^2 +z^2-16$$, 则点(-1, -2, 3)处的法向量为
$$n_2=(F_x, F_y, F_z )|(-1, -2, 3)=(6x, 2y, 2z)|(-1, -2, 3)=(-6, -4, 6)$$.
点(-1, -2, 3)处的切平面与xOy面的夹角的余弦为
.
解析
步骤 1：确定xOy面的法向量
xOy面的法向量为$$n_1=(0, 0, 1)$$，因为xOy面的方程为$$z=0$$，其法向量垂直于xOy面，指向z轴正方向。
步骤 2：计算旋转椭球面在给定点处的法向量
令$$F(x, y, z)=3x^2+y^2+z^2-16$$，则旋转椭球面在点(-1, -2, 3)处的法向量为$$n_2=(F_x, F_y, F_z)|_{(-1, -2, 3)}$$，其中$$F_x=6x$$，$$F_y=2y$$，$$F_z=2z$$。将点(-1, -2, 3)代入，得到$$n_2=(-6, -4, 6)$$。
步骤 3：计算切平面与xOy面夹角的余弦
切平面与xOy面夹角的余弦为$$\cos \theta =\dfrac {n_1\cdot n_2}{|n_1|\cdot |n_2|}$$，其中$$n_1\cdot n_2$$为两个向量的点积，$$|n_1|$$和$$|n_2|$$分别为两个向量的模。计算得到$$n_1\cdot n_2=6$$，$$|n_1|=1$$，$$|n_2|=\sqrt{(-6)^2+(-4)^2+6^2}=\sqrt{36+16+36}=\sqrt{88}=2\sqrt{22}$$。因此，$$\cos \theta =\dfrac {6}{1\cdot 2\sqrt{22}}=\dfrac {3}{\sqrt{22}}$$。
xOy面的法向量为$$n_1=(0, 0, 1)$$，因为xOy面的方程为$$z=0$$，其法向量垂直于xOy面，指向z轴正方向。
步骤 2：计算旋转椭球面在给定点处的法向量
令$$F(x, y, z)=3x^2+y^2+z^2-16$$，则旋转椭球面在点(-1, -2, 3)处的法向量为$$n_2=(F_x, F_y, F_z)|_{(-1, -2, 3)}$$，其中$$F_x=6x$$，$$F_y=2y$$，$$F_z=2z$$。将点(-1, -2, 3)代入，得到$$n_2=(-6, -4, 6)$$。
步骤 3：计算切平面与xOy面夹角的余弦
切平面与xOy面夹角的余弦为$$\cos \theta =\dfrac {n_1\cdot n_2}{|n_1|\cdot |n_2|}$$，其中$$n_1\cdot n_2$$为两个向量的点积，$$|n_1|$$和$$|n_2|$$分别为两个向量的模。计算得到$$n_1\cdot n_2=6$$，$$|n_1|=1$$，$$|n_2|=\sqrt{(-6)^2+(-4)^2+6^2}=\sqrt{36+16+36}=\sqrt{88}=2\sqrt{22}$$。因此，$$\cos \theta =\dfrac {6}{1\cdot 2\sqrt{22}}=\dfrac {3}{\sqrt{22}}$$。