题目
函数f(x)= { , xneq 0 0, x=0 .在点x=0处 ( )A. 不连续 B. 可导 C. 连续但不可导 D. 无定义
函数f(x)=
在点x=0处 ( )
B. 可导
C. 连续但不可导
D. 无定义
题目解答
答案
C. 连续但不可导
解析
步骤 1：判断函数在x=0处的连续性
为了判断函数在x=0处是否连续，我们需要计算函数在x=0处的左极限和右极限，并与函数在x=0处的值进行比较。由于函数在x=0处定义为0，我们需要计算$\lim_{x \to 0} 3x\sin \dfrac {1}{x}$。
步骤 2：计算$\lim_{x \to 0} 3x\sin \dfrac {1}{x}$
由于$-1 \leq \sin \dfrac {1}{x} \leq 1$，我们可以得到$-3x \leq 3x\sin \dfrac {1}{x} \leq 3x$。当x趋近于0时，$-3x$和$3x$都趋近于0，因此根据夹逼定理，$\lim_{x \to 0} 3x\sin \dfrac {1}{x} = 0$。这表明函数在x=0处是连续的。
步骤 3：判断函数在x=0处的可导性
为了判断函数在x=0处是否可导，我们需要计算函数在x=0处的导数。根据导数的定义，我们需要计算$\lim_{h \to 0} \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}$。由于$f(0)=0$，我们需要计算$\lim_{h \to 0} \dfrac{3h\sin \dfrac {1}{h}}{h} = \lim_{h \to 0} 3\sin \dfrac {1}{h}$。由于$\sin \dfrac {1}{h}$在h趋近于0时没有极限，因此函数在x=0处不可导。
为了判断函数在x=0处是否连续，我们需要计算函数在x=0处的左极限和右极限，并与函数在x=0处的值进行比较。由于函数在x=0处定义为0，我们需要计算$\lim_{x \to 0} 3x\sin \dfrac {1}{x}$。
步骤 2：计算$\lim_{x \to 0} 3x\sin \dfrac {1}{x}$
由于$-1 \leq \sin \dfrac {1}{x} \leq 1$，我们可以得到$-3x \leq 3x\sin \dfrac {1}{x} \leq 3x$。当x趋近于0时，$-3x$和$3x$都趋近于0，因此根据夹逼定理，$\lim_{x \to 0} 3x\sin \dfrac {1}{x} = 0$。这表明函数在x=0处是连续的。
步骤 3：判断函数在x=0处的可导性
为了判断函数在x=0处是否可导，我们需要计算函数在x=0处的导数。根据导数的定义，我们需要计算$\lim_{h \to 0} \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}$。由于$f(0)=0$，我们需要计算$\lim_{h \to 0} \dfrac{3h\sin \dfrac {1}{h}}{h} = \lim_{h \to 0} 3\sin \dfrac {1}{h}$。由于$\sin \dfrac {1}{h}$在h趋近于0时没有极限，因此函数在x=0处不可导。