题目
1-24 一质点沿半径为R的圆周按规律 =(v)_(0)t-dfrac (1)(2)b(t)^2 运动,式中v0、b都是.-|||-常量.(1)求t时刻质点的总加速度;(2)t为何值时总加速度在数值上等于b?-|||-(3)当加速度达到b时,质点已沿圆周运行了多少圈?
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算质点的速度
质点沿圆周运动的规律为 $s={v}_{0}t-\dfrac {1}{2}b{t}^{2}$，其中 $s$ 是质点沿圆周运动的路程，$v_0$ 和 $b$ 是常量。质点的速度 $v$ 可以通过求路程 $s$ 对时间 $t$ 的导数得到。
$v=\dfrac {ds}{dt}={v}_{0}-bt$
步骤 2：计算加速度的切向分量和法向分量
质点的加速度可以分解为切向分量和法向分量。切向分量 $a_1$ 可以通过求速度 $v$ 对时间 $t$ 的导数得到，法向分量 $a_n$ 可以通过速度 $v$ 的平方除以圆周的半径 $R$ 得到。
$a_1=\dfrac {dv}{dt}=-b$
$a_n=\dfrac {v^2}{R}=\dfrac {({v}_{0}-bt)^2}{R}$
步骤 3：计算总加速度的大小和方向
总加速度的大小 $a$ 可以通过切向分量 $a_1$ 和法向分量 $a_n$ 的平方和的平方根得到。总加速度的方向与切线之间的夹角 $\theta$ 可以通过切向分量 $a_1$ 和法向分量 $a_n$ 的比值的反正切得到。
$a=\sqrt {a_1^2+a_n^2}=\dfrac {\sqrt {R^2b^2+({v}_{0}-bt)^4}}{R}$
$\theta =\arctan \dfrac {a_n}{a_1}=\arctan [-\dfrac {({v}_{0}-bt)^2}{Rb}]$
步骤 4：求总加速度等于 $b$ 时的时间 $t$
要使总加速度的大小等于 $b$，可以通过解方程 $\dfrac {1}{R}\sqrt {R^2b^2+({v}_{0}-bt)^4}=b$ 来求得时间 $t$。
$t=\dfrac {{v}_{0}}{b}$
步骤 5：计算质点运行的圈数
从 $t=0$ 开始到 $t=\dfrac {{v}_{0}}{b}$ 时，质点经过的路程 $s$ 可以通过求路程 $s$ 对时间 $t$ 的积分得到。质点运行的圈数 $n$ 可以通过路程 $s$ 除以圆周的周长 $2\pi R$ 得到。
$s=\dfrac {{{v}_{0}}^{2}}{2b}$
$n=\dfrac {s}{2\pi R}=\dfrac {{{v}_{0}}^{2}}{4\pi bR}$
质点沿圆周运动的规律为 $s={v}_{0}t-\dfrac {1}{2}b{t}^{2}$，其中 $s$ 是质点沿圆周运动的路程，$v_0$ 和 $b$ 是常量。质点的速度 $v$ 可以通过求路程 $s$ 对时间 $t$ 的导数得到。
$v=\dfrac {ds}{dt}={v}_{0}-bt$
步骤 2：计算加速度的切向分量和法向分量
质点的加速度可以分解为切向分量和法向分量。切向分量 $a_1$ 可以通过求速度 $v$ 对时间 $t$ 的导数得到，法向分量 $a_n$ 可以通过速度 $v$ 的平方除以圆周的半径 $R$ 得到。
$a_1=\dfrac {dv}{dt}=-b$
$a_n=\dfrac {v^2}{R}=\dfrac {({v}_{0}-bt)^2}{R}$
步骤 3：计算总加速度的大小和方向
总加速度的大小 $a$ 可以通过切向分量 $a_1$ 和法向分量 $a_n$ 的平方和的平方根得到。总加速度的方向与切线之间的夹角 $\theta$ 可以通过切向分量 $a_1$ 和法向分量 $a_n$ 的比值的反正切得到。
$a=\sqrt {a_1^2+a_n^2}=\dfrac {\sqrt {R^2b^2+({v}_{0}-bt)^4}}{R}$
$\theta =\arctan \dfrac {a_n}{a_1}=\arctan [-\dfrac {({v}_{0}-bt)^2}{Rb}]$
步骤 4：求总加速度等于 $b$ 时的时间 $t$
要使总加速度的大小等于 $b$，可以通过解方程 $\dfrac {1}{R}\sqrt {R^2b^2+({v}_{0}-bt)^4}=b$ 来求得时间 $t$。
$t=\dfrac {{v}_{0}}{b}$
步骤 5：计算质点运行的圈数
从 $t=0$ 开始到 $t=\dfrac {{v}_{0}}{b}$ 时，质点经过的路程 $s$ 可以通过求路程 $s$ 对时间 $t$ 的积分得到。质点运行的圈数 $n$ 可以通过路程 $s$ 除以圆周的周长 $2\pi R$ 得到。
$s=\dfrac {{{v}_{0}}^{2}}{2b}$
$n=\dfrac {s}{2\pi R}=\dfrac {{{v}_{0}}^{2}}{4\pi bR}$