3.求微分方程 '-yln y=0 () 的通解.

考查要点：本题主要考查可分离变量微分方程的解法，需要将方程中的变量分离后分别积分。

解题核心思路：

1. 将方程整理为$\frac{dy}{dx} = \frac{y \ln y}{x}$，通过变量分离得到$\frac{dy}{y \ln y} = \frac{dx}{x}$。
2. 对两边分别积分，利用换元法处理左边积分。
3. 通过代数变形得到通解形式。

破题关键点：

• 识别方程类型：方程可变形为变量可分离的形式。
• 正确换元积分：对$\int \frac{1}{y \ln y} dy$使用换元法，令$u = \ln y$。

将原方程$xy' - y \ln y = 0$变形为：
$\frac{dy}{dx} = \frac{y \ln y}{x}$

变量分离：
将方程改写为：
$\frac{dy}{y \ln y} = \frac{dx}{x}$

积分求解：

1. 左边积分：令$u = \ln y$，则$du = \frac{1}{y} dy$，积分变为：
   $\int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C_1 = \ln |\ln y| + C_1$
2. 右边积分：
   $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C_2$

合并结果：
联立两边积分结果：
$\ln |\ln y| = \ln |x| + C \quad (\text{其中} C = C_2 - C_1)$

化简通解：

1. 将常数$C$吸收为新的常数$C'$，得：
   $\ln y = C' x$
2. 指数运算得通解：
   $y = e^{C' x}$