题目
3.求微分方程 '-yln y=0 () 的通解.
题目解答
答案
y=e^{Cx}.
解析
步骤 1：分离变量
给定的微分方程是 $xy'-y\ln y=0$。首先，我们尝试将变量分离，即把含 $y$ 的项和含 $x$ 的项分别放在等式的两边。为此，我们先将方程重写为 $xy' = y\ln y$，然后除以 $y$ 并乘以 $dx$，得到 $\frac{dy}{y\ln y} = \frac{dx}{x}$。
步骤 2：积分
接下来，我们对两边进行积分。左边是关于 $y$ 的积分，右边是关于 $x$ 的积分。左边的积分 $\int \frac{dy}{y\ln y}$ 可以通过代换 $u = \ln y$ 来简化，从而得到 $\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C_1 = \ln|\ln y| + C_1$。右边的积分 $\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C_2$。因此，我们有 $\ln|\ln y| = \ln|x| + C$，其中 $C = C_2 - C_1$ 是新的积分常数。
步骤 3：求解 $y$
从 $\ln|\ln y| = \ln|x| + C$，我们可以通过指数运算来求解 $y$。首先，两边同时取指数，得到 $|\ln y| = e^{\ln|x| + C} = e^{\ln|x|}e^C = |x|e^C$。由于 $e^C$ 是一个正数，我们可以将其表示为 $C'$，即 $|\ln y| = C'|x|$。由于 $y$ 的定义域可能包括负值，我们直接写为 $\ln y = C'x$，其中 $C'$ 可以是任意实数。最后，对两边取指数，得到 $y = e^{C'x}$。为了简化表示，我们通常将 $C'$ 写作 $C$，因此最终的通解为 $y = e^{Cx}$。
给定的微分方程是 $xy'-y\ln y=0$。首先，我们尝试将变量分离，即把含 $y$ 的项和含 $x$ 的项分别放在等式的两边。为此，我们先将方程重写为 $xy' = y\ln y$，然后除以 $y$ 并乘以 $dx$，得到 $\frac{dy}{y\ln y} = \frac{dx}{x}$。
步骤 2：积分
接下来，我们对两边进行积分。左边是关于 $y$ 的积分，右边是关于 $x$ 的积分。左边的积分 $\int \frac{dy}{y\ln y}$ 可以通过代换 $u = \ln y$ 来简化，从而得到 $\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C_1 = \ln|\ln y| + C_1$。右边的积分 $\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C_2$。因此，我们有 $\ln|\ln y| = \ln|x| + C$，其中 $C = C_2 - C_1$ 是新的积分常数。
步骤 3：求解 $y$
从 $\ln|\ln y| = \ln|x| + C$，我们可以通过指数运算来求解 $y$。首先，两边同时取指数，得到 $|\ln y| = e^{\ln|x| + C} = e^{\ln|x|}e^C = |x|e^C$。由于 $e^C$ 是一个正数，我们可以将其表示为 $C'$，即 $|\ln y| = C'|x|$。由于 $y$ 的定义域可能包括负值，我们直接写为 $\ln y = C'x$，其中 $C'$ 可以是任意实数。最后，对两边取指数，得到 $y = e^{C'x}$。为了简化表示，我们通常将 $C'$ 写作 $C$，因此最终的通解为 $y = e^{Cx}$。