下列陈述中,哪些是对的,哪些是错的?如果是对的,说明理由;如果是错的,试-|||-给出一个反例.-|||-(1)如果limf(x )存在,但limg(x )不存在,那么 lim [ f(x)+g(x)] 不存在;-|||-(2)如果limf(x )和limg(x)都不存在,那么 lim _(xarrow {x)_(0)}[ f(x)+g(x)] 不存在;-|||-(3)如果limf(x )存在,但limg(x )不存在,那么 lim f(x)cdot g(x) 不存在.

步骤 1：分析第一项陈述
根据极限的性质，如果 $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)$ 存在，而 $\lim _{x\rightarrow x_{0}}g(x)$ 不存在，那么 $\lim _{x\rightarrow x_{0}}[f(x)+g(x)]$ 也不存在。因为如果 $\lim _{x\rightarrow x_{0}}[f(x)+g(x)]$ 存在，那么 $\lim _{x\rightarrow x_{0}}g(x)$ 可以通过 $\lim _{x\rightarrow x_{0}}[f(x)+g(x)] - \lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)$ 计算出来，这与 $\lim _{x\rightarrow x_{0}}g(x)$ 不存在矛盾。
步骤 2：分析第二项陈述
如果 $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)$ 和 $\lim _{x\rightarrow x_{0}}g(x)$ 都不存在，那么 $\lim _{x\rightarrow x_{0}}[f(x)+g(x)]$ 也不一定不存在。例如，$f(x)=\sin x$ 和 $g(x)=-\sin x$ 在 $x\rightarrow \infty$ 时的极限都不存在，但 $\lim _{x\rightarrow \infty}[f(x)+g(x)]=\lim _{x\rightarrow \infty}0=0$ 存在。
步骤 3：分析第三项陈述
如果 $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)$ 存在，而 $\lim _{x\rightarrow x_{0}}g(x)$ 不存在，那么 $\lim _{x\rightarrow x_{0}}[f(x)\cdot g(x)]$ 也不一定不存在。例如，$\lim _{x\rightarrow 0}x=0$，而 $\lim _{x\rightarrow 0}\sin \frac{1}{x}$ 不存在，但 $\lim _{x\rightarrow 0}x\sin \frac{1}{x}=0$ 存在。