18.(本题满分12分)-|||-已知向量组-|||-[-1] -2 a 1-|||--1-|||-a1= 1 ({a)_(2)}= 1 a3= 2 β= -1-|||-4 5 10 b-|||-求:(1)当a,b为何值时,β能由α1,α2,α 3唯一线性表示?-|||-(2)当a,b为何值时,β不能由α1,α2,α 3线性表示?-|||-(3)当a,b为何值时,β能由α1,α2,α 3线性表示,但表示法不唯一,并写出表示式

步骤 1：构造增广矩阵
构造增广矩阵 $(A,B)$，其中 $A$ 是由向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 组成的矩阵，$B$ 是向量 $\beta$。
$$
(A,B) = \begin{pmatrix}
-1 & -2 & a & 7 \\
1 & 1 & 2 & -1 \\
4 & 5 & 10 & b
\end{pmatrix}
$$

步骤 2：进行初等行变换
对增广矩阵 $(A,B)$ 进行初等行变换，化简为阶梯形矩阵。
$$
\begin{pmatrix}
-1 & -2 & a & 7 \\
1 & 1 & 2 & -1 \\
4 & 5 & 10 & b
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -a & -7 \\
1 & 1 & 2 & -1 \\
4 & 5 & 10 & b
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -a & -7 \\
0 & -1 & 2+a & 6 \\
0 & -3 & 10+4a & b+28
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -a & -7 \\
0 & 1 & -2-a & -6 \\
0 & 0 & 4+a & b+4
\end{pmatrix}
$$

步骤 3：分析矩阵的秩
根据矩阵的秩来判断 $\beta$ 能否由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示。
- 当 $4+a \neq 0$ 时，$r(A) = r(A,B) = 3$，$\beta$ 能由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 唯一线性表示。
- 当 $4+a = 0$ 且 $b+4 \neq 0$ 时，$r(A) < r(A,B)$，$\beta$ 不能由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示。
- 当 $4+a = 0$ 且 $b+4 = 0$ 时，$r(A) = r(A,B) < 3$，$\beta$ 能由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，但表示法不唯一。

步骤 4：求解线性方程组
当 $4+a = 0$ 且 $b+4 = 0$ 时，求解线性方程组 $Ax = 0$，得到 $\beta$ 的线性表示。
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 4 & -7 \\
0 & 1 & 2 & -6 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 2 & -6 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
得到 $x_1 = 1$，$x_2 = -6 - 2x_3$，$x_3$ 为自由变量。
$$
x = \begin{pmatrix}
1 \\
-6 \\
0
\end{pmatrix} + k \begin{pmatrix}
0 \\
-2 \\
1
\end{pmatrix}
$$