[题目]设随机变量 X-N(0,1) 求 =2(x)^2+1 的-|||-概率密度函数.

步骤 1：确定 $Y$ 的分布函数
$Y=2{x}^{2}+1$ 的分布函数 $F_Y(y)$ 可以表示为 $F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(2X^2 + 1 \leq y)$。由于 $X \sim N(0,1)$，我们需要找到 $X$ 的取值范围，使得 $2X^2 + 1 \leq y$ 成立。

步骤 2：求解 $X$ 的取值范围
$2X^2 + 1 \leq y$ 可以转化为 $X^2 \leq \frac{y-1}{2}$。因此，$X$ 的取值范围为 $-\sqrt{\frac{y-1}{2}} \leq X \leq \sqrt{\frac{y-1}{2}}$。当 $y < 1$ 时，$Y$ 的分布函数为 $0$，因为 $2X^2 + 1$ 总是大于等于 $1$。

步骤 3：计算 $Y$ 的分布函数
$F_Y(y) = P(-\sqrt{\frac{y-1}{2}} \leq X \leq \sqrt{\frac{y-1}{2}}) = F_X(\sqrt{\frac{y-1}{2}}) - F_X(-\sqrt{\frac{y-1}{2}})$，其中 $F_X(x)$ 是标准正态分布的分布函数。

步骤 4：求导得到 $Y$ 的概率密度函数
$Y$ 的概率密度函数 $f_Y(y)$ 是 $F_Y(y)$ 的导数。因此，$f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = \frac{d}{dy} [F_X(\sqrt{\frac{y-1}{2}}) - F_X(-\sqrt{\frac{y-1}{2}})]$。利用链式法则，我们得到 $f_Y(y) = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}} \frac{1}{\sqrt{y-1}} e^{-\frac{y-1}{4}}$，当 $y \geq 1$ 时。