[题目]一名男生推铅球,铅球行进高度y(单位:m)-|||-与水平距离x(单位:m)之间的关系式-|||-=-dfrac (1)(12)(x)^2+dfrac (2)(3)x+dfrac (5)(3)-|||-(1)画出函数的图象;-|||-(2)观察图象,指出铅球推出的距离.

考查要点：本题主要考查二次函数的图象绘制及实际应用，涉及二次函数的性质、顶点坐标、与x轴交点的求解。

解题核心思路：

1. 图象绘制：通过分析二次函数的开口方向、顶点坐标、与坐标轴的交点等关键特征，绘制抛物线。
2. 铅球距离计算：将实际问题转化为数学问题，即求二次函数图象与x轴正半轴的交点横坐标。

破题关键点：

• 开口方向：二次项系数为负，抛物线开口向下。
• 顶点坐标：利用顶点公式计算顶点位置。
• 与x轴交点：解方程$y=0$，筛选符合实际的正数解。

第（1）题：画出函数图象

确定开口方向

二次项系数为$-\dfrac{1}{12} < 0$，故抛物线开口向下。

计算顶点坐标

顶点横坐标为$x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{\dfrac{2}{3}}{2 \times \left(-\dfrac{1}{12}\right)} = 4$，代入原式得顶点纵坐标：
$y = -\dfrac{1}{12} \times 4^2 + \dfrac{2}{3} \times 4 + \dfrac{5}{3} = 3$
顶点坐标为$(4, 3)$。

求与x轴交点

解方程$-\dfrac{1}{12}x^2 + \dfrac{2}{3}x + \dfrac{5}{3} = 0$：

1. 两边乘以$-12$得：$x^2 - 8x - 20 = 0$。
2. 用求根公式：$x = \dfrac{8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2} = \dfrac{8 \pm 12}{2}$，解得$x = 10$或$x = -2$。
3. 实际意义：水平距离$x \geq 0$，故有效交点为$x = 10$。

求与y轴交点

令$x = 0$，得$y = \dfrac{5}{3}$，交点为$(0, \dfrac{5}{3})$。

绘制图象

根据顶点$(4, 3)$、开口方向、与x轴交点$(10, 0)$和y轴交点$(0, \dfrac{5}{3})$，绘制开口向下的抛物线。

第（2）题：铅球推出的距离

实际意义转化

铅球落地时高度$y = 0$，对应水平距离$x$的正数解。

筛选有效解

由第（1）题知，方程解为$x = 10$和$x = -2$，舍去负解$x = -2$，故铅球推出的距离为$10$米。