内容一：求值问题例1：(1)sin20°cos10°-cos160°sin10°=____.(2)cos10°-2cos20°cos10°=____.变式练习：练1：sqrt(3) tan10°+4sin10°=____.例2：已知sin((pi)/(3)-alpha)=(1)/(4)，则cos((pi)/(3)+2alpha)=____.变式练习：
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查三角恒等变换的应用，包括和角公式、差角公式、积化和差公式、二倍角公式等。
解题核心思路：
- 角度化简：利用角度互补关系（如$\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta$）简化表达式；
- 公式选择：根据题目结构选择和角公式、积化和差公式或二倍角公式；
- 代数变形：通过通分、合并同类项等操作将复杂表达式转化为标准形式。
例1（1）$\sin20^\circ\cos10^\circ - \cos160^\circ\sin10^\circ$
角度化简
$\cos160^\circ = \cos(180^\circ - 20^\circ) = -\cos20^\circ$，原式变为：
$\sin20^\circ\cos10^\circ + \cos20^\circ\sin10^\circ$
应用和角公式
根据$\sin(A+B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B$，得：
$\sin(20^\circ + 10^\circ) = \sin30^\circ = \frac{1}{2}$
例1（2）$\cos10^\circ - 2\cos20^\circ\cos10^\circ$
提取公因式
原式可写为：
$\cos10^\circ - 2\cos20^\circ\cos10^\circ = \cos10^\circ(1 - 2\cos20^\circ)$
应用积化和差公式
$2\cos A\cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$，代入得：
$2\cos20^\circ\cos10^\circ = \cos30^\circ + \cos10^\circ$
化简表达式
原式变为：
$\cos10^\circ - (\cos30^\circ + \cos10^\circ) = -\cos30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
练1 $\sqrt{3}\tan10^\circ + 4\sin10^\circ$
统一为正弦和余弦形式
$\tan10^\circ = \frac{\sin10^\circ}{\cos10^\circ}$，代入得：
$\frac{\sqrt{3}\sin10^\circ}{\cos10^\circ} + 4\sin10^\circ$
通分合并
通分后：
$\frac{\sqrt{3}\sin10^\circ + 4\sin10^\circ\cos10^\circ}{\cos10^\circ}$
应用二倍角公式
$2\sin20^\circ = 2\sin20^\circ$，因此：
$\sqrt{3}\sin10^\circ + 2\sin20^\circ$
角度合成
利用$\sin(A+B)$展开$\sqrt{3}\sin10^\circ + \cos10^\circ\sin20^\circ$，最终化简为$\sin30^\circ = \frac{1}{2}$，分母$\cos10^\circ$抵消后结果为$1$。
例2 $\cos\left(\frac{\pi}{3} + 2\alpha\right)$
角度转换
由$\sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \frac{1}{4}$，利用$\sin\theta = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$得：
$\cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{1}{4}$
应用二倍角公式
$\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1$，令$\theta = \frac{\pi}{6} + \alpha$，则：
$\cos\left(\frac{\pi}{3} + 2\alpha\right) = 2\left(\frac{1}{4}\right)^2 - 1 = -\frac{7}{8}$