题目
(3) lim _(narrow infty )(dfrac (e)({e)^n+(1)^2}+dfrac ({e)^2}({e)^n+(2)^2}+... +dfrac ({e)^n}({e)^n+(n)^2}) ;
题目解答
答案
解析
步骤 1：观察极限表达式
观察给定的极限表达式，我们注意到每一项都是形如 $\dfrac{{e}^{k}}{{e}^{n}+{k}^{2}}$ 的形式，其中 $k$ 从 $1$ 到 $n$。我们需要找到一个方法来简化这个表达式，以便能够计算出极限值。
步骤 2：简化每一项
对于每一项 $\dfrac{{e}^{k}}{{e}^{n}+{k}^{2}}$，当 $n$ 趋向于无穷大时，${e}^{n}$ 会远大于 ${k}^{2}$，因此每一项可以近似为 $\dfrac{{e}^{k}}{{e}^{n}}$。这样，每一项可以简化为 $\dfrac{{e}^{k}}{{e}^{n}} = {e}^{k-n}$。
步骤 3：计算极限
将每一项简化后，原极限表达式可以写为 $\lim _{n\rightarrow \infty }({e}^{1-n}+{e}^{2-n}+\cdots +{e}^{n-n})$。这是一个等比数列的和，其中首项为 ${e}^{1-n}$，公比为 $e$，项数为 $n$。等比数列的和公式为 $S_n = \dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，其中 $a_1$ 是首项，$q$ 是公比，$n$ 是项数。将这些值代入公式，得到 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac{{e}^{1-n}(1-e^n)}{1-e}$。由于 $e^n$ 趋向于无穷大，$1-e^n$ 趋向于 $-e^n$，因此极限值为 $\dfrac{{e}^{1-n}(-e^n)}{1-e} = \dfrac{-e}{1-e} = \dfrac{e}{e-1}$。
观察给定的极限表达式，我们注意到每一项都是形如 $\dfrac{{e}^{k}}{{e}^{n}+{k}^{2}}$ 的形式，其中 $k$ 从 $1$ 到 $n$。我们需要找到一个方法来简化这个表达式，以便能够计算出极限值。
步骤 2：简化每一项
对于每一项 $\dfrac{{e}^{k}}{{e}^{n}+{k}^{2}}$，当 $n$ 趋向于无穷大时，${e}^{n}$ 会远大于 ${k}^{2}$，因此每一项可以近似为 $\dfrac{{e}^{k}}{{e}^{n}}$。这样，每一项可以简化为 $\dfrac{{e}^{k}}{{e}^{n}} = {e}^{k-n}$。
步骤 3：计算极限
将每一项简化后，原极限表达式可以写为 $\lim _{n\rightarrow \infty }({e}^{1-n}+{e}^{2-n}+\cdots +{e}^{n-n})$。这是一个等比数列的和，其中首项为 ${e}^{1-n}$，公比为 $e$，项数为 $n$。等比数列的和公式为 $S_n = \dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，其中 $a_1$ 是首项，$q$ 是公比，$n$ 是项数。将这些值代入公式，得到 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac{{e}^{1-n}(1-e^n)}{1-e}$。由于 $e^n$ 趋向于无穷大，$1-e^n$ 趋向于 $-e^n$，因此极限值为 $\dfrac{{e}^{1-n}(-e^n)}{1-e} = \dfrac{-e}{1-e} = \dfrac{e}{e-1}$。