练习2 f(x_(1),x_(2),x_(3))=(x_(1)+ax_(2))^2+(x_(2)+ax_(3))^2+(x_(3)+ax_(1))^2 正定二次型，则a的取值范围是____.

考查要点：本题主要考查二次型的正定性判断，涉及二次型矩阵的构造、特征值的计算及正定条件的应用。

解题核心思路：

1. 构造二次型矩阵：将给定的二次型表达式转化为对称矩阵形式。
2. 分析矩阵特征值：利用对称矩阵的特征值特性，结合其结构特点快速求解特征值。
3. 正定条件判断：根据特征值均大于0的条件，确定参数$a$的取值范围。

破题关键点：

• 矩阵构造：正确展开二次型并整理为标准矩阵形式。
• 特征值简化计算：利用矩阵的对称性和元素规律，快速得出特征值。
• 不等式求解：结合特征值的符号条件，排除使特征值非正的参数值。

将二次型$f(x_1, x_2, x_3)$展开并整理为矩阵形式：
$f(x_1, x_2, x_3) = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1+a^2 & a & a \\ a & 1+a^2 & a \\ a & a & 1+a^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}.$

矩阵特征值分析：

1. 特征值推导：
   该矩阵为对称矩阵，所有对角线元素为$1+a^2$，非对角线元素为$a$。其特征值为：

   • 单根：$1+a^2 + 2a = (a+1)^2$（对应特征向量$(1,1,1)^T$）。
   • 二重根：$1+a^2 - a = a^2 - a + 1$（对应其他正交特征向量）。

2. 正定条件：

   • 单根条件：$(a+1)^2 > 0 \Rightarrow a \neq -1$。
   • 二重根条件：$a^2 - a + 1 > 0$。因判别式$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$，二次函数恒正，无需额外限制。

结论：当且仅当$a \neq -1$时，二次型正定。