[题目]-|||-证明:当 gt 0 时, ^x-ln (1+x)-1gt xln (1+x).

步骤 1：定义函数
定义函数 $f(x)={e}^{x}-\ln (1+x)-1-x\ln (1+x)$，我们需要证明当 $x\gt 0$ 时，$f(x)\gt 0$。
步骤 2：求导
求 $f(x)$ 的一阶导数 $f'(x)$，得到 $f'(x)={e}^{x}-\dfrac{1}{1+x}-\ln(1+x)-\dfrac{x}{1+x}$。
步骤 3：求二阶导数
求 $f'(x)$ 的导数，即 $f''(x)$，得到 $f''(x)={e}^{x}+\dfrac{1}{(1+x)^2}-\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{(1+x)^2}$。
步骤 4：分析二阶导数
当 $x\gt 0$ 时，$e^x\gt 1$，$\dfrac{1}{(1+x)^2}\gt 0$，$\dfrac{1}{1+x}\lt 1$，因此 $f''(x)\gt 0$，说明 $f'(x)$ 在 $x\gt 0$ 时单调增加。
步骤 5：分析一阶导数
由于 $f'(x)$ 在 $x\gt 0$ 时单调增加，且 $f'(0)=0$，因此当 $x\gt 0$ 时，$f'(x)\gt 0$，说明 $f(x)$ 在 $x\gt 0$ 时单调增加。
步骤 6：分析原函数
由于 $f(x)$ 在 $x\gt 0$ 时单调增加，且 $f(0)=0$，因此当 $x\gt 0$ 时，$f(x)\gt 0$。