题目
33.已知函数 =dfrac ({e)^x}(x), 求y".
题目解答
答案
解析
步骤 1：求一阶导数
根据函数 $y=\dfrac {{e}^{x}}{x}$，我们首先使用商的求导法则求出一阶导数 $y'$。商的求导法则为 $(\dfrac {u}{v})'=\dfrac {u'\cdot v-u\cdot v'}{{v}^{2}}$，其中 $u=e^x$，$v=x$。因此，$u'=e^x$，$v'=1$。将这些值代入商的求导法则中，我们得到：
$$y'=\dfrac {e^x\cdot x-e^x\cdot 1}{x^2}=\dfrac {e^x(x-1)}{x^2}$$
步骤 2：求二阶导数
接下来，我们对一阶导数 $y'$ 进行求导，以得到二阶导数 $y''$。我们再次使用商的求导法则，其中 $u=e^x(x-1)$，$v=x^2$。因此，$u'=e^x(x-1)+e^x$，$v'=2x$。将这些值代入商的求导法则中，我们得到：
$$y''=\dfrac {e^x(x-1)+e^x\cdot x^2-2x\cdot e^x(x-1)}{x^4}$$
$$=\dfrac {e^x(x^2-2x+2)}{x^3}$$
根据函数 $y=\dfrac {{e}^{x}}{x}$，我们首先使用商的求导法则求出一阶导数 $y'$。商的求导法则为 $(\dfrac {u}{v})'=\dfrac {u'\cdot v-u\cdot v'}{{v}^{2}}$，其中 $u=e^x$，$v=x$。因此，$u'=e^x$，$v'=1$。将这些值代入商的求导法则中，我们得到：
$$y'=\dfrac {e^x\cdot x-e^x\cdot 1}{x^2}=\dfrac {e^x(x-1)}{x^2}$$
步骤 2：求二阶导数
接下来，我们对一阶导数 $y'$ 进行求导，以得到二阶导数 $y''$。我们再次使用商的求导法则，其中 $u=e^x(x-1)$，$v=x^2$。因此，$u'=e^x(x-1)+e^x$，$v'=2x$。将这些值代入商的求导法则中，我们得到：
$$y''=\dfrac {e^x(x-1)+e^x\cdot x^2-2x\cdot e^x(x-1)}{x^4}$$
$$=\dfrac {e^x(x^2-2x+2)}{x^3}$$