题目
求微分方程(y)^2dfrac (dy)(dx)-(x)^3dfrac (dy)(dx)=2(y)^3-|||-__的通解。
求微分方程
的通解。
题目解答
答案
即
因此，
做变换
得到
即
两边积分，得
即
将将
换成
得：
即为微分方程的通解。
解析
步骤 1：将微分方程变形
将微分方程$2x{y}^{2}\dfrac {dy}{dx}-{x}^{3}\dfrac {dy}{dx}=2{y}^{3}$变形为$(2x{y}^{2}-{x}^{3})\dfrac {dy}{dx}=2{y}^{3}$，从而得到$\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {2{y}^{3}}{2x{y}^{2}-{x}^{3}}$。
步骤 2：引入变换
引入变换$x=\dfrac {y}{x}$，即$y=xu$，从而得到$x+x\dfrac {du}{dx}=\dfrac {2{u}^{3}}{2{u}^{2}-1}$。
步骤 3：分离变量并积分
将方程$x+x\dfrac {du}{dx}=\dfrac {2{u}^{3}}{2{u}^{2}-1}$分离变量，得到$\dfrac {2{u}^{2}-1}{u-{u}^{3}}du=\dfrac {dx}{x}$。两边积分，得$\dfrac {1}{2}\ln (\dfrac {u+1}{u-1})+\ln u=\ln Cx$。
步骤 4：代回原变量
将$u=\dfrac {y}{x}$代回，得到$\dfrac {{y}^{2}(y+x)}{y-x}=C{x}^{4}$，即为微分方程的通解。
将微分方程$2x{y}^{2}\dfrac {dy}{dx}-{x}^{3}\dfrac {dy}{dx}=2{y}^{3}$变形为$(2x{y}^{2}-{x}^{3})\dfrac {dy}{dx}=2{y}^{3}$，从而得到$\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {2{y}^{3}}{2x{y}^{2}-{x}^{3}}$。
步骤 2：引入变换
引入变换$x=\dfrac {y}{x}$，即$y=xu$，从而得到$x+x\dfrac {du}{dx}=\dfrac {2{u}^{3}}{2{u}^{2}-1}$。
步骤 3：分离变量并积分
将方程$x+x\dfrac {du}{dx}=\dfrac {2{u}^{3}}{2{u}^{2}-1}$分离变量，得到$\dfrac {2{u}^{2}-1}{u-{u}^{3}}du=\dfrac {dx}{x}$。两边积分，得$\dfrac {1}{2}\ln (\dfrac {u+1}{u-1})+\ln u=\ln Cx$。
步骤 4：代回原变量
将$u=\dfrac {y}{x}$代回，得到$\dfrac {{y}^{2}(y+x)}{y-x}=C{x}^{4}$，即为微分方程的通解。